هتل هیلبرت

انسان اگرچه خود مخلوقی است متناهی، اما همواره مفهوم نامتناهی را که جلوه‌ای از خالق است ستوده است. مفهوم نامتناهی اگرچه برای انسان درک ناشدنی است اما بسیار زیباست. دانشمندان عرصه‌های مختلف علم همواره سعی کرده‌اند تا نقاب را از رخ زیبای نامتناهی بگشایند اما هیچکس به اندازه‌ی کانتور، ریاضی‌دان برجسته‌ی آلمانی، موفق به این کار نبوده است. کانتور با طرح مجموعه‌های نامتناهی، عالمانه، ریاضیات را به عرصه‌ی نامتناهی‌ها وارد می‌کند و به تعبیر هیلبرت، ریاضیدان شهیر آلمانی، این کانتور بود که انسان را به بهشت نامتناهی‌ها وارد کرد (برگرفته از کتاب آشنایی با مبانی ریاضیات، تألیف محمدرضا سپهری نوبندگانی).

سکانس اول:

آقای هیلبرت صاحب تنها هتل یک شهر توریستی عجیب بود! شهری که همه چیز آن غیرعادی بود؛ درست مثل هتل خود آقای هیلبرت. هتل آقای هیلبرت، هتلی بود که به اندازه‌ی تمام اعداد طبیعی اتاق داشت. یعنی به ازای هر عدد طبیعی $n$، اتاقی با شماره‌ی $n$ در این هتل وجود داشت.

در اواسط تابستان -وقتی که تعداد زیادی از مردم برای بازدید از جاذبه‌های توریستی این شهر، به آن جا آمده بودند- هتل آقای هیلبرت کاملاً پر شد، به طوری که در همه ‌ی اتاق ‌های آن دست کم یک مسافر ساکن شده بود. ظاهراً همه چیز بر وفق مراد آقای هیلبرت پیش می‌رفت؛ مشتریان زیاد و درآمدی قابل توجه، اما این همه ‌ی ماجرا نبود و پر بودن هتل دردسر‌هایی باخود داشت.
درست در شرایطی که تمام اتاق‌های هتل پر شده بودند، یکی از بازرسان اتحادیه ‌ی هتل ‌داران برای بازرسی از شرایط و امکانات هتل آقای هیلبرت به این شهر رفت! معمول این بود که بازرسان چند روزی در هر هتل اقامت می‌کردند و در این چند روز با بررسی تمام امکانات هتل، گزارش خود را تنظیم می‌کردند. از این رو همه‌ی هتل ‌داران معمولاً یک اتاق را برای آمدن بازرسان احتمالی خالی نگه می‌داشتند، اما در اثر سهل انگاری مسئول پذیرش هتل آقای هیلبرت، آن اتاقی که همیشه به همین منظور خالی نگه داشته می‌شد نیز به مسافران اجاره داده شد و حتی یک اتاق هم خالی نماند!

آقای هیلبرت و کارکنان هتل نمی دانستند چه باید بکنند؛ از یک سو می‌بایست اتاقی برای اقامت آقای بازرس فراهم کنند، چرا که در غیر این‌صورت ممکن بود که وی گزارشی علیه آن‌ها تنظیم کند و از ستاره ‌های هتل کم شود، و از سوی دیگر همه‌ ی اتاق ‌ها پر بود و نمی‌توانستند عذر هیچ یک از مسافران را بخواهند؛ چون ممکن بود مسافر اخراج شده شکایتی علیه آن‌ ها ترتیب دهد و بر اساس این شکایت اتحادیه ‌ی هتل‌داران یکی از ستاره ‌های هتل آقای هیلبرت را بگیرد. آیا راهی وجود دارد که بدون اخراج هیچ یک از مسافران و نهایتاً با جابه‌جایی آنان یک اتاق خالی برای آقای بازرس فراهم کرد؟

خوشبختانه بله! می‌توان با جابه جایی مسافران و بدون اخراج هیچ یک از آن‌ها اتاقی برای آقای بازرس فراهم کرد!

یک سفسطه در آنالیز عددی

اشکال استدلال زیر چیست؟

در روش تکرار ساده برای حل معادله‌ی غیرخطی $f(x)=0$ این معادله به‌صورت $ g(x)=x$ نوشته می‌شود. برای همگرایی دنباله‌ تکراری حاصل از این روش، $ x_{n+1}=g(x_n)$ ، باید داشته باشیم $|g'(x)|<1$ . اما از رابطه‌ی $ g(x)=x$ داریم $|g'(x)|=1$ و بنابراین شرط $|g'(x)|<1$ هیچگاه برقرار نمی‌شود.

کارل فردریک گوس

کارل فردریک گوس (1855-1777) ریاضیدان معروف آلمانی است. هنوز هفت سالش نبود که وارد مدرسه شد. مدرسه‌‌ی ملی آلمان در پایان سده‌ی هیجدهم و ابتدای سده‌ی نوزدهم، مدرسه‌ای خشک و بی‌روح و با روشی بر پایه‌ی حافظه و یادگیری طوطی‌وار بود. به‌خصوص بچه‌ها بیش از همه، تلخی این روش یادگیری و آموزشی را احساس می‌کردند. حفظ طوطی‌وار تنها روش آموزش، و شلاق تنها وسیله‌ی تربیت بچه‌ها بود. تازیانه پی در پی بر پشت دانش‌آموزان خطاکار فرود می‌آمد.
از همان کلاس اول، کارل در بین همه دوستانش ممتاز بود. او بچه‌ای مستعد و با پشتکار بود. در درس حساب، همیشه مسئله‌ها را به سرعت، درست و دقیق حل می‌کرد.
قاعده‌ی کار در کلاس به این ترتیب بود: هر شاگرد که کار خودش را انجام می‌داد، لوحه‌ای که حاوی تکلیف‌هایش بود، روی میز معلم می‌گذاشت. در آن زمان، مدرسه‌ها از تخته‌های نازک سنگی استفاده می‌کردند و به آن‌ها لوح می‌گفتند. هر دانش‌آموز لوحی مخصوص داشت و با قلمی که به آن «گریفل» می‌گفتند، روی آن می‌نوشت. وقتی همه لوح‌ها جمع می‌شد، معلم آن‌ها را برمی‌داشت و تصحیح می‌کرد.
در یکی از ساعت‌های درس حساب، معلم این مسئله را به آن‌ها داد: مجموع عددهای طبیعی 1 تا 100 را پیدا کنید.
هنوز اندکی از طرح این مسئله نگذشته بود که کارل لوح خود را روی میز گذاشت. معلم نگاهی به کارل انداخت و پوزخندی زد. او تصمیم نداشت که از تنبیه او بگذرد، ولی قلباً برای او متأسف بود. کارل، کوچکترین شاگرد کلاس و ضمناً ضعیف و لاغر بود. بیوتنر (معلم کلاس)، دلش به حال این بچه‌ی ضعیف می‌سوخت. وضع جسمانی کارل طوری بود که دشمنی او را برنمی‌انگیخت. ولی چه می‌شود کرد؟ قانون و انضباط مدرسه، این‌طور حکم می‌کند.
بیوتنر خیلی به خودش فشار آورد که پسرک را مورد سرزنش قرار نداد. او حتی دلش می‌خواست برود، لوح پسرک را بردارد و به او پس بدهد و از او بخواهد که کار خود را کنترل کند. او پیش خود فکر می‌کرد:«مگر ممکن است که این پسرک در یک لحظه توانسته باشد مجموع صد عدد را پیدا کند؟» در این ضمن، دیگر شاگردان به‌سختی مشغول بودند. صدای تق و توق لوح‌ها، از همه جا بلند بود. همه با جدیت مشغول حل مسئله بودند. تنها کارل بود که بدون کار نشسته بود. او به درستی راه‌حل خود اطمینان داشت و نگاه‌های معلم پریشانش نمی‌کرد. او احساس کسی را داشت که به پیروزی خود در مبارزه اعتماد دارد.
وقتی که بیوتنر شروع به تصحیح کرد از تعجب خشکش زد. او متوجه شد که نه تنها کارل کوچک، مسئله را درست حل کرده است، بلکه راه‌حل بسیار ساده‌ و جالبی هم برای آن پیدا کرده است!

تابع اکرمن (Ackermann)

تابع اکرمن به‌ازای هر دو عدد صحیح و نامنفی $m$ و $n$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$A(m,n)=\cases{n+1 &$m=0$\\A(m-1,1) &$m\geq 1$, $n=0$\\A(m-1,A(m,n-1)) &$m\geq 1$, $n\geq 1$}$$

علت شهرت این تابع، رشد بسیار بالای آن‌ است. آهنگ افزایش این تابع بازگشتی آن‌قدر زیاد است که با توابع چندجمله‌ای، فاکتوریل یا نمایی قابل مقایسه نیست. برای آشنایی بیشتر با این تابع بازگشتی، چند جمله‌ی اول آن را در نظر می‌گیریم:

$$A(0,0 ) = 1\\ A(0,1 ) = 2\\ A(0,2 ) = 3\\ A(0,3 ) = 4\\ A(0,4 ) = 5\\ A(1,0 ) = 2\\ A(1,1 ) = 3 \\A(1,2 ) = 4\\ A(1,3 ) = 5 \\A(1,4 ) = 6 \\A(2,0 ) = 3 \\A(2,1 ) = 5\\ A(2,2 ) = 7 \\A(2,3 ) = 9 \\A(3,0 ) = 5 \\A(3,1 ) = 13\\ A(3,2 ) = 29 \\A(4,0 ) = 13$$

با توجه به مقادیر بالا ممکن است فکر کنید که آهنگ افزایش این تابع آن‌قدرها هم زیاد نیست. اما حقیقت چیز دیگری است.

در واقع $A(4,1)=65533$ و حاصل $A(4,2)$ هم عددی 19729 رقمی است!

محاسبه‌ی مقدار $A(4,3)$ نیز تاکنون با پیشرفته‌ترین کامپیوترها امکان‌پذیر نشده است و مقادیر دیگر $A(m,n)$ وقتی $m\geq 4$ به مراتب بزرگ‌تر است. تابع اکرمن مثالی است برای نشان دادن اینکه کامپیوترهای سریع امروزی هنوز هم توان محاسبه‌ی مقدار متناهی برخی از توابع ریاضی را ندارند.

سایتی برای آشنایی با دانشمندان ریاضی

به قول استاد زنده‌یاد پرویز شهریاری، تاریخ ریاضی خودِ ریاضی است.
اگر شما هم مانند من به تاریخ ریاضیات علاقمند هستید یا می‌خواهید اطلاعاتی درباره‌ی دانشمندان ریاضی کسب کنید سایت زیر را به شما پیشنهاد می‌کنم:

MacTutor History of Mathematics archive

عدد موزر

دو تن از شاگردان داوید هیلبرت، ریاضی‌دان معروف آلمانی، به نام‌های لئو موزر و هوگو اشتینهاوس به کمک چندضلعی‌ها اعدادی را معرفی کردند که به سرعت بزرگ می‌شوند. این اعداد با استفاده از قاعده‌ی بازگشتی زیر تعریف می‌شوند:

1-‌ عدد طبیعی \(a\) داخل یک مثلث، به‌صورت « \(a\) به توان خودش» تعریف می‌شود.

2-‌ عدد طبیعی \(a\) داخل یک \(n\) ضلعی منتظم \((n\geq4)\) برابر است با \(a\) داخل \(a\) تا \(n-1\) ضلعی منتظم.

برای نمونه داریم:

 

 

حال به عدد 2 داخل یک 5 ضلعی منتظم توجه کنید:

 

 

اما 256 داخل یک مربع یعنی 256 داخل 256 مثلث یا به‌عبارت دیگر، \({{256}^{256}}\) داخل 255 مثلث و ... . این عدد را که تاکنون محاسبه‌ی آن با پیشرفته‌ترین کامپیوترها ممکن نشده است مگا می‌نامند، یعنی:

مگا = 2 داخل یک 5 ضلعی منتظم

موزر که هنوز قانع نشده بود مگا عددی به اندازه‌ی کافی بزرگ است شروع به یافتن عددهای دیگری نمود. اما عددی به ذهنش رسید که خاطرش را از یافتن اعداد دیگر، به اندازه‌ی کافی آسوده کرد:

 

2 داخل یک مگا ضلعی منتظم!

 

این عدد در ریاضیات عدد موزر نامیده می‌شود.

Leo Moser		Hugo steinhaus

بد نیست بدانید که ...

1. مجموعه‌ی اعداد گویا، تنها فضای متریک شمارایی است که نقطه‌ی تنها ندارد.

2. هیچ تابعی وجود ندارد که فقط در اعداد گویا پیوسته باشد ولی تابعی وجود دارد که فقط در اعداد گنگ پیوسته است.

3. تابع پیوسته‌ای وجود دارد که در تمام نقاط گویا دارای ماکسیمم موضعی است.

4. به کمک اصل انتخاب می‌توان یک گوی را طوری افراز و مجددا سرهم‌بندی کرد که دو گوی مشابه اولی حاصل شود.
(قضیه‌ی باناخ-تارسکی)

5. توابعی وجود دارند که در هر نقطه‌ای پیوسته‌اند ولی در هیچ‌نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند و جالب‌تر این که تعداد این توابع از توابع مشتق‌پذیر بیشتر است.

6. خم پیوسته‌ای وجود دارد که از تمام نقاط درون یک مربع می‌گذرد ولی هیچ خم پیوسته‌ای وجود ندارد که از هر نقطه‌ی درون مربع تنها یک بار بگذرد.

7. \({{\mathbb{R}}^{2}}\) اجتماع دایره‌های جدا از هم نیست ولی \({{\mathbb{R}}^{3}}\) اجتماع کره‌های جدا از هم است.
8. سوپریمم مجموعه‌ی تهی در دستگاه وسعت یافته‌ی اعداد حقیقی \(-\infty\) و اینفیمم آن \(+\infty\) است و این مجموعه، تنها مجموعه‌ای است که سوپریمم آن از اینفیممش کمتر است.
9. مجموعه‌ای از نقاط در صفحه وجود دارد که هر خط دلخواه در صفحه، آن مجموعه را فقط در دو نقطه قطع می‌کند.
10. هنوز شرط لازم و کافی برای اینکه یک گراف، همیلتنی باشد پیدا نشده است.

حدس کولاتز

یک عدد طبیعی دلخواه در نظر بگیرید. اگر فرد است به سه برابر آن یک واحد اضافه کنید. چنانچه زوج است آن را به 2 تقسیم کنید. سپس همین اعمال را در مورد نتیجه‌ی حاصل انجام دهید. مثلاً اگر با عدد 6 شروع کنیم خواهیم داشت 3 سپس 10، 5 ، 16، 8 ، 4، 2 و 1. در واقع ادعا آن است که با هر عددی شروع کنید سرانجام به عدد یک می‌رسید. این ادعا که درستی آن تاکنون رد یا اثبات نشده است به حدس کولاتز (ریاضیدان آلمانی) معروف است. از این حدس گاهی به نام حدس \(3n+1\) نیز یاد می‌کنند. این حدس برخلاف صورت آسانی که دارد، یکی از سخت‌ترین حدس‌هایی است که تاکنون در ریاضیات بیان شده است. نکته‌ی جالب آن است که در این حدس فقط از سه عمل ساده‌ی ضرب در 3، جمع با 1 و تقسیم بر 2 استفاده می‌شود.

Lothar collatz

دو پاورپوینت به مناسبت دهه ریاضیات

بیست و هشتم اردیبهشت ماه هرسال، روز بزرگداشت ریاضیدان و شاعر بزرگ ایرانی، حکیم عمر خیام نیشابوری و روز ملی ریاضیات است. امسال به همین مناسبت از من دعوت شد تا در مراسمی که انجمن ریاضی دانشگاه فسا ترتیب داده بود، سخنرانی کنم. انصافا بچه‌های انجمن هم برای برگزاری هر چه بهتر مراسم خیلی زحمت کشیده بودند که در همین جا از آنها به خاطر زحماتشان و دعوت من در آن مراسم تشکر می‌کنم.
من دو اسلاید تهیه کرده بودم که باید یکی از آن‌ها را ارائه می‌دادم. در این پست به مناسبت دهه ریاضیات (دهه اول آبان) این دو اسلاید را برای دانلود قرار می‌دهم.

دانلود اسلایدهای مراسم بزرگداشت خیام و روز ملی ریاضیات

ما ریاضی‌خوانیم نه ریاضیدان!

ریاضی‌دانان هرگز بدون ریاضت کشیدن ریاضی‌دان نشده‌اند. معروف است که در یکی از روزهای اکتبر سال 1903، فرانک نلسون کول، ریاضی‌دان معروف آمریکایی مقاله‌ای با عنوانی نسبتاً متواضعانه در باب تجزیه‌ی اعداد بزرگ به انجمن ریاضی آمریکا ارائه داد. پیش‌تر از آن مارین مرسن کشیش معروف فرانسوی در اظهار نظری نادرست اما محرک، ادعا کرده بود که اعدادی به شکل \({{M}_{n}}={{2}^{n}}-1\) به ازای اعداد اول 2, 3 ,5 ,7 ,13,17 ,19 ,31 ,67، 127، 257 اول و به ازای سایر اعداد اول کمتر از 257 مرکب است. وقتی کول برای سخنرانی به جایگاه دعوت شد، بی آنکه حرفی بزند یا چیزی بگوید به سمت چپ تخته رفت و 2 را 67 بار در خودش ضرب کرد و سپس به‌دقت یک واحد از آن کم نمود. بدین ترتیب او \({{M}_{67}}\) را حساب کرد. سپس بدون اینکه کلمه ای بگوید، به سمت دیگر تخته رفت و حاصل ضرب زیر را حساب کرد:\[761838257287\times 193707721\]حاصل دو محاسبه دقیقاً یکسان بود. می‌گویند برای اولین بار بود که حاضران جلسه، ارائه دهنده‌ی مقاله‌ای را در این‌گونه همایش‌ها تشویق می‌کردند. کول سر جایش نشست و احدی از وی پرسشی نکرد، ولی بعدها محرمانه به دوستی اظهار کرده بود که پیدا کردن عاملهای \({{M}_{67}}\) وقت بعد از ظهر یکشنبه های 20 سال او را گرفته بود!
بد نیست بدانید که به پاس خدمات پروفسور فرانک نلسون کول هر 3 سال یکبار از سوی انجمن ریاضیات آمریکا، به ریاضی‌دانان و محقیقن برتر علم ریاضی در زمینه‌های جبر و نظریه‌ی اعداد جایزه‌ای به نام جایزه‌ی نلسون کول، اعطا می‌شود.

Frank Nelson Cole

Reference: Burton, David M. Elementary number theory. Tata McGraw-Hill Education.