هتل هیلبرت

انسان اگرچه خود مخلوقی است متناهی، اما همواره مفهوم نامتناهی را که جلوه‌ای از خالق است ستوده است. مفهوم نامتناهی اگرچه برای انسان درک ناشدنی است اما بسیار زیباست. دانشمندان عرصه‌های مختلف علم همواره سعی کرده‌اند تا نقاب را از رخ زیبای نامتناهی بگشایند اما هیچکس به اندازه‌ی کانتور، ریاضی‌دان برجسته‌ی آلمانی، موفق به این کار نبوده است. کانتور با طرح مجموعه‌های نامتناهی، عالمانه، ریاضیات را به عرصه‌ی نامتناهی‌ها وارد می‌کند و به تعبیر هیلبرت، ریاضیدان شهیر آلمانی، این کانتور بود که انسان را به بهشت نامتناهی‌ها وارد کرد (برگرفته از کتاب آشنایی با مبانی ریاضیات، تألیف محمدرضا سپهری نوبندگانی).

سکانس اول:

آقای هیلبرت صاحب تنها هتل یک شهر توریستی عجیب بود! شهری که همه چیز آن غیرعادی بود؛ درست مثل هتل خود آقای هیلبرت. هتل آقای هیلبرت، هتلی بود که به اندازه‌ی تمام اعداد طبیعی اتاق داشت. یعنی به ازای هر عدد طبیعی $n$، اتاقی با شماره‌ی $n$ در این هتل وجود داشت.

در اواسط تابستان -وقتی که تعداد زیادی از مردم برای بازدید از جاذبه‌های توریستی این شهر، به آن جا آمده بودند- هتل آقای هیلبرت کاملاً پر شد، به طوری که در همه ‌ی اتاق ‌های آن دست کم یک مسافر ساکن شده بود. ظاهراً همه چیز بر وفق مراد آقای هیلبرت پیش می‌رفت؛ مشتریان زیاد و درآمدی قابل توجه، اما این همه ‌ی ماجرا نبود و پر بودن هتل دردسر‌هایی باخود داشت.
درست در شرایطی که تمام اتاق‌های هتل پر شده بودند، یکی از بازرسان اتحادیه ‌ی هتل ‌داران برای بازرسی از شرایط و امکانات هتل آقای هیلبرت به این شهر رفت! معمول این بود که بازرسان چند روزی در هر هتل اقامت می‌کردند و در این چند روز با بررسی تمام امکانات هتل، گزارش خود را تنظیم می‌کردند. از این رو همه‌ی هتل ‌داران معمولاً یک اتاق را برای آمدن بازرسان احتمالی خالی نگه می‌داشتند، اما در اثر سهل انگاری مسئول پذیرش هتل آقای هیلبرت، آن اتاقی که همیشه به همین منظور خالی نگه داشته می‌شد نیز به مسافران اجاره داده شد و حتی یک اتاق هم خالی نماند!

آقای هیلبرت و کارکنان هتل نمی دانستند چه باید بکنند؛ از یک سو می‌بایست اتاقی برای اقامت آقای بازرس فراهم کنند، چرا که در غیر این‌صورت ممکن بود که وی گزارشی علیه آن‌ها تنظیم کند و از ستاره ‌های هتل کم شود، و از سوی دیگر همه‌ ی اتاق ‌ها پر بود و نمی‌توانستند عذر هیچ یک از مسافران را بخواهند؛ چون ممکن بود مسافر اخراج شده شکایتی علیه آن‌ ها ترتیب دهد و بر اساس این شکایت اتحادیه ‌ی هتل‌داران یکی از ستاره ‌های هتل آقای هیلبرت را بگیرد. آیا راهی وجود دارد که بدون اخراج هیچ یک از مسافران و نهایتاً با جابه‌جایی آنان یک اتاق خالی برای آقای بازرس فراهم کرد؟

خوشبختانه بله! می‌توان با جابه جایی مسافران و بدون اخراج هیچ یک از آن‌ها اتاقی برای آقای بازرس فراهم کرد!

با کمی دقت در می‌یابیم که می‌توان همه ‌ی مسافران را یک اتاق به جلو فرستاد و به این ترتیب اتاق شماره ‌ی 1 برای آقای بازرس خالی می‌شود!

به نظر شما عجیب نیست؟ از داخل یک هتل کاملاً پر، یک اتاق خالی بیرون می‌آید، بدون این ‌که حتی یک نفر از هتل خارج شده باشد!! آیا می‌توان در هتلی که 200 نفر گنجایش دارد 201 نفر را اسکان داد؟ یا می‌توان 11 زین را روی 10 اسب قرار داد به طوری که روی هر اسب تنها یک زین قرار داشته باشد؟ 

سکانس دوم:

تمایل زیاد مردم برای مسافرت به یک شهر توریستی هر سرمایه‌داری را به این فکر فرو می‌برد که با راه‌اندازی یک هتل مجلل درآمد کلانی به دست آورد. این ‌همان فکری بود که به ذهن پسر عموی آقای هیلبرت خطور کرد و او را پس از مدتی صاحب دومین هتل این شهر عجیب کرد؛ هتلی که درست مثل هتل آقای هیلبرت به اندازه‌ ی تمام اعداد طبیعی اتاق داشت. کار هردوی آن ‌ها به خوبی پیش می‌رفت و در روز‌های تابستان، هر دو هتل کاملاً پر از مسافر بود، بدون حتی یک اتاق خالی. اما باز هم این همه ‌ی ماجرا نبود و همه چیز آن ‌طور که توقع می‌رفت، خوب نبود. مخصوصاً برای آقای هیلبرت!

هتل آقای هیلبرت در مقایسه با هتل پسر عمویش بسیار قدیمی‌ بود، هر روز قسمتی از هتل احتیاج به تعمیر داشت، یک روز لوله‌های اتاق ‌ها می‌ترکید و دیوارها مرطوب می‌شد، روز دیگر شیر‌های آب خراب می‌شدند، روز دیگر هم در اثر پوسیدگی، سیم‌های تلفن‌ قطع می‌شد و هزار مشکل کوچک و بزرگ دیگر که هر روز برای هتل آقای هیلبرت پیش می‌آمد! به تدریج مسافران از وضع موجود ناراضی شدند. آقای هیلبرت از این ماجرا بسیار ناراحت بود، از این رو خوب فکر کرد تا بتواند راه حلی برای این مشکل پیدا کند.

او تصمیم گرفت که همه‌ ی مسافران هتلش را برای مدتی به هتل پسر عمویش بفرستد و در این مدت تعمیراتی اساسی برای بازسازی هتل خودانجام دهد! اما چگونه؟ چگونه این کار ممکن بود در حالی که هم هتل آقای هیلبرت  و هم هتل پسر عموی آقای هیلبرت کاملاً پر بود؟

آقای هیلبرت مرد باهوشی بود. این مشکل را با یک راه حل هوشمندانه از پیش رو برداشت و بدون اخراج حتی یک مسافر و تنها با جابه جایی آن ‌ها، همه ‌ی مسافران این دو هتل را در کنار هم در اتاق ‌های هتل پسر عموی خود جای داد. اما راه حل او:
آقای هیلبرت از پسر عمویش خواست تا مسافران هتل خود را به اتاق ‌های زوج منتقل کند. به این ترتیب که با مسافر اتاق شماره‌ی $n$ تماس بگیرد و از او بخواهد که به اتاق $2n$ نقل مکان کند. به این ترتیب همه‌ی مسافران هتل پسر عموی آقای هیلبرت به اتاق‌های زوج منتقل شده و همه‌‌ی اتاق‌های فرد خالی شدند؛ و در نهایت آقای هیلبرت با مسافر اتاق شماره‌ی $m$ خود تماس گرفت و از او خواست تا به اتاق شماره‌‌ی $2m-1$ هتل پسر عمویش برود! به این ترتیب مسافران هر دو هتل توانستند در اتاق‌های هتل پسر عموی آقای هیلبرت ساکن شوند (ساکنان اولیه‌‌ی هتل پسرعموی آقای هیلبرت در اتاق ‌های زوج و ساکنان اولیه ‌ی هتل آقای هیلبرت در خانه‌های فرد).

سکانس سوم:

 پس از مدت کوتاهی آقای هیلبرت هتل خود را بازسازی کرد و مسافران وی دوباره به هتل خود او بازگشتند. چند سالی سپری شد. هتل ‌های آن ها تقریباً همیشه پر بود و همه چیز بر وفق مراد! تا این ‌که بعد از مدتی آن‌ها تصمیم گرفتند که با مشارکت یکدیگر هتل ‌های خود را تخریب کنند و به جای آن دو هتل، یک هتل شراکتی مجلل بسازند. نقشه‌ی آن‌ها عملی شد و پس از مدتی آن‌ها صاحب یک هتل بسیار زیبا و مدرن شدند. هتلی که به اندازه ‌ی دو هتل اول عجیب بود و صد البته پر دردسر! هتلی‌ که به اندازه ‌ی تمام اعداد طبیعی در بالای طبقه‌ی هم‌کف خود، طبقه داشت و در هر طبقه هم  به اندازه‌ی تمام اعداد طبیعی، اتاق!!

کسب و کار پسر عموها در این هتل هم پر رونق بود. تقریباً همه ‌ی طبقات همیشه پر از مسافر بودند، البته به جز طبقه‌ی هم‌کف که برای جلوگیری از وقوع برخی مشکلاتی که قبلاً با آن ‌ها برخورد کرده بودند، خالی نگه داشته می‌شدند؛ که البته این عاقبت اندیشی به کمک آن‌ها آمد.

در یکی از روزهایی که همه‌ ی اتاق ‌های طبقات بالای هم‌کف پر بودند (و تنها هم‌کف خالی بود)، هتل پسرعموها گرفتار حریق شد. شعله‌‌ها از همه‌جای هتل زبانه می‌کشیدند، مسافران با فریاد به سمت پله‌های اضطراری فرار می‌کردند. آقای هیلبرت و پسر عمویش فوراً دست به کار شدند و بلافاصله آتش نشانی و نیروهای امداد را خبر کردند. با تلاش‌های آتش نشانان و امدادگران آتش خیلی سریع خاموش شد و آسیب جانی به کسی نرسید، اما همه‌ی طبقات هتل به جز طبقه‌ی هم‌کف در آتش سوخته و غیر قابل سکونت بودند؛ و حال آقای هیلبرت و پسر عمویش در این فکر بودند که بااین همه مسافر چه کنند؟

آقای هیلبرت فکر کرد و بعد از مدتی راه حلی را با پسر عمویش در میان گذاشت! راه حل آقای هیلبرت همه‌ی مسافران طبقات بالایی را در طبقه‌ی هم‌کف جا داد! آیا می‌توانید حدس بزنید که راه حل وی چه بود؟ (شاید شکل زیر قدری کمک کند!)