حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی

یکی از کاربردهای مهم ماتریس نمایی در حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی است. برای بررسی این موضوع ابتدا قضیه­‌ی زیر را بیان می­‌کنیم.

قضیه: فرض کنید $A\in {{\mathbb{R}}^{n\times n}}$ و تابع برداری $w~:\mathbb{R}\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ پیوسته باشد. در این صورت جواب مسأله‌ی مقدار اولیه‌­ی\begin{cases}{X}'\left(t\right)=AX\left(t\right)+w\left(t\right) \\X\left({{t}_{0}}\right)={{X}_{0}}\in{{\mathbb{R}}^{n}} \end{cases} به ازای هر $t\ge {{t}_{0}}$ به‌صورت زیر خواهد بود:

$$X\left( t \right)={{e}^{\left( t-{{t}_{0}}\right)A}}{{X}_{0}}+ \int_{{t}_{0}}^{t} \,{{e}^{\left( t-s \right)A}}w\left( s \right)ds.$$اثبات: با ضرب معادله­‌ی دیفرانسیل در ${{e}^{(-tA)}}$ داریم: ${{e}^{-tA}}{{X}^{'}}\left( t \right)-{{e}^{-tA}}AX\left( t \right)={{e}^{-tA}}w\left( t \right)$ که معادل است با:$$\frac{d}{dt}({{e}^{-tA}}X\left( t \right))={{e}^{-tA}}w\left( t \right)$$با انتگرالگیری از طرفین این رابطه روی بازه‌­ی $\left[ {{t}_{0}},t \right]$، داریم

$$\int_{{t}_{0}}^{t}\frac{d}{dt}({{e}^{-sA}}X\left( s \right))ds=\int_{{t}_{0}}^{t}\,{{e}^{-sA}}w\left( s \right)ds$$ بنابراین:$${{e}^{-tA}}X\left( t \right)-{{e}^{-{{t}_{0}}A}}X\left( {{t}_{0}} \right)=\int_{{t}_{0}}^{t}\,{{e}^{-sA}}w\left( s \right)ds$$ و در نتیجه با ضرب طرفین این رابطه در ${{e}^{tA}}$ خواهیم داشت:

$$X\left( t \right)={{e}^{\left( t-{{t}_{0}} \right)A}}{{X}_{0}}+\int_{{t}_{0}}^{t}\,{{e}^{\left( t-s \right)A}}w\left( s \right)ds.$$ حال به کمک قضیه­‌ی بالا، برنامه­‌ی Matlab حل یک دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی نمونه را به صورت زیر می‌نویسیم.

clear

clc

syms s t

A=[7 -4 ;8 -5]

w_t=[exp(t);exp(t)]

X0=[1;2]

X_t=expm(t*A)* X0+int(expm((t-s)*A)*(subs(w_t,t,s)),s,0,t);

disp('the solution X(t) is:')

X_t

این برنامه دستگاه زیر را حل می­‌کند:$$\left\{\begin{matrix}{{x}_{1}}^{'}=7{{x}_{1}}\left(t\right)-4{{x}_{2}}\left(t\right)+{{e}^{t}},   {{x}_{1}}\left( 0 \right)=1 \\{{x}_{2}}^{'}=8{{x}_{1}}\left(t\right)-5{{x}_{2}}\left( t \right)+{{e}^{t}},    {{x}_{2}}\left(0\right)=2\\\end{matrix} \right.$$و خروجی آن عبارت است از:

$$X\left(t\right)=\left( \begin{matrix}{{x}_{1}}\left(t\right)\\{{x}_{2}}\left(t\right) \\\end{matrix} \right)$$

که در آن:$$\left\{\begin{matrix} {{x}_{1}}\left( t \right)={{e}^{-t}}-\frac{1}{2}{{e}^{t}}+\frac{1}{2}{{e}^{3t}},  \\ {{x}_{2}}\left( t \right)=2{{e}^{-t}}-\frac{1}{2}{{e}^{t}}+\frac{1}{2}{{e}^{3t}}. \\\end{matrix} \right.$$