یک مسئله از جبر خطی
صورت مسئله: فرض کنید که $A$ یک ماتریس $5\times5$ وارون‌پذیر با درایه‌های حقیقی مثبت باشد. در این صورت $A^{-1}$ حداکثر می‌تواند چند درایه‌ی صفر داشته باشد؟
1) 18
2) 17
3) 15
4) 16
این مسئله، سؤال 50 از آزمون کارشناسی ارشد رشته‌ی علوم کامپیوتر سال 1396 است.
پاسخ: گزینه‌ی 3 صحیح است. فرض کنید که $A^{-1}$ بیش از 15 درایه‌ی صفر داشته باشد. پس حداقل 16 درایه‌ی صفر دارد. چون $A^{-1}$ پنج سطر دارد، پس طبق اصل لانه کبوتری، سطری از $A^{-1}$ وجود دارد که دارای بیش از 3 درایه‌ی صفر است. بدون کاستن از کلیت، فرض کنید که مثلاً سطر اول $A^{-1}$ دارای چهار صفر باشد و اولین درایه‌ی این سطر، غیر صفر است. چون $A^{-1}A=I$، بنابراین یک تساوی به شکل زیر وجود دارد:$$
\begin{bmatrix}1/a & 0 &0&0&0\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b &c&d&e\\f&g&h&i&j\\k&l&m&n&o\\p&q&r&s&t\\u&v&w&x&y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 &0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$$
که در آن اولین ماتریس در سمت چپ تساوی، $A^{-1}$ و دومی $A$ است. در این صورت از حاصل ضرب سطر اول $A^{-1}$ در ستون دوم $A$ و برابر قرار دادن طرفین خواهیم داشت:$$\frac{1}{a}\times b=0.$$اما طبق فرض، تمام درایه‌های $A$ یعنی $a,b,...$ اعداد حقیقی مثبت هستند. بنابراین $1/a$ نیز عددی مثبت است. یعنی ضرب دو عدد مثبت $1/a$ و $b$ صفر شده، که یک تناقض است. بنابراین $A^{-1}$ نمی‌تواند بیش از 15 درایه‌ی صفر داشته باشد.
از حل این مسئله، خاطره‌ی خوبی دارم. سال‌های قبل یک گروه تلگرام برای داوطلبان آزمون دکتری ریاضی تشکیل داده بودیم که در آن به حل و بحث سوالات ریاضی می‌پرداختیم و بحث‌های علمی خیلی خوبی هم در آن مطرح می‌شد. پس از آن که حل این مسئله را در گروه قرار دادم، یکی از دوستان این سؤال را مطرح کرد که آیا می‌توان ماتریسی با درایه‌های حقیقی مثبت مثال زد که وارون آن دقیقاً 15 درایه‌ی صفر داشته باشد؟ پاسخ مثبت است. اگر درایه‌های روی قطر اصلی را منفی انتخاب کنیم و درایه‌های یک قطر بالای قطر اصلی و همچنین اولین درایه‌ی سطر آخر را مثبت قرار دهیم و سایر درایه‌ها صفر باشند، آنگاه تمام درایه‌های ماتریس وارون، مثبت خواهند شد:
>> format rat
>> B=[-1 2 0 0 0; 0 -1 2 0 0; 0 0 -1 2 0; 0 0 0 -1 2; 2 0 0 0 -1]
B =
-1 2 0 0 0
0 -1 2 0 0
0 0 -1 2 0
0 0 0 -1 2
2 0 0 0 -1
>> A=inv(B)
A =
1/31 2/31 4/31 8/31 16/31
16/31 1/31 2/31 4/31 8/31
8/31 16/31 1/31 2/31 4/31
4/31 8/31 16/31 1/31 2/31
2/31 4/31 8/31 16/31 1/31
>> format rat
>> B=[-1 1 0 0 0; 0 -1 2 0 0; 0 0 -1 3 0; 0 0 0 -1 4; 5 0 0 0 -1]
B =
-1 1 0 0 0
0 -1 2 0 0
0 0 -1 3 0
0 0 0 -1 4
5 0 0 0 -1
>> A=inv(B)
A =
1/119 1/119 2/119 6/119 24/119
120/119 1/119 2/119 6/119 24/119
60/119 60/119 1/119 3/119 12/119
20/119 20/119 40/119 1/119 4/119
5/119 5/119 10/119 30/119 1/119
>> format rat
>> B=[-1 6 0 0 0; 0 -2 7 0 0; 0 0 -3 8 0; 0 0 0 -4 9; 10 0 0 0 -5]
B =
-1 6 0 0 0
0 -2 7 0 0
0 0 -3 8 0
0 0 0 -4 9
10 0 0 0 -5
>> A=inv(B)
A =
1/251 3/251 7/251 14/251 126/1255
42/251 1/502 7/1506 7/753 21/1255
12/251 36/251 1/753 2/753 6/1255
9/502 27/502 63/502 1/1004 9/5020
2/251 6/251 14/251 28/251 1/1255
