تعیین حدود مقادیر ویژه‌ی یک ماتریس
یکی از مسائل اساسی که در جبر خطی عددی بررسی می‌شود، تعیین مقادیر ویژه یک ماتریس است. در این مطلب برخی از قضایا را که در تعیین کران‌های مقادیر ویژه یک ماتریس به کار می‌روند، بیان می‌کنیم.
قضیه گرشگورین:
فرض کنید $A$ یک ماتریس $n\times n$ باشد. در این‌صورت اجتماع دیسک‌های زیر، موسوم به دیسک‌های گرشگورین، تمام مقادیر ویژه‌ی $A$ را در بر می‌گیرد:$$\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le \sum\limits_{j=1,j\ne i}^{n}{\left| {{a}_{ij}} \right|};~~~~i=1,2,...,n~~~~(1)$$همچنین اجتماع هر $k$ دیسک گرشگورین که $(n-k)$ تای دیگر را قطع نکنند، دقیقا شامل $k$ مقدار ویژه $A$ با احتساب تکرار می‌باشد.
نتیجه: با توجه به اینکه مجموعه‌ی مقادیر ویژه $A$ و ${{A}^{H}}$ با هم برابرند می‌توان قضیه فوق را در مورد ${{A}^{H}}$ به کار گرفت. به عبارت دیگر مقادیر ویژه‌ی $A$ در دیسک‌های زیر نیز قرار دارند:$$\left| z-{{a}_{jj}} \right|\le \sum\limits_{i=1,i\ne j}^{n}{\left| {{a}_{ij}} \right|};~~~~j=1,2,...,n~~~~(2)$$بنابراین اگر اجتماع دیسک‌های تعریف شده در (1) را با ${{C}_{r}}$ و اجتماع دیسک‌های تعریف شده در (2) را با ${{C}_{c}}$ نشان دهیم می‌توان گفت تمام مقدار ویژه‌های $A$ در ${{C}_{r}}\cap {{C}_{c}}$ قرار می‌گیرند.
مثال: فرض کنید$$A=\left[ \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 5 & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 \\\end{matrix} \right]$$چون ماتریس $A$ متقارن و حقیقی است، تمام مقدار ویژه‌ها حقیقی هستند و قضیه گرشگورین و نتیجه‌ی بعد آن هر دو به یک جواب منجر می‌شوند. دیسک‌های گرشگورین در اینجا عبارتند از ${{D}_{1}}$ به مرکز $0$ و شعاع $1$، ${{D}_{2}}$ به مرکز $5$ و شعاع $1.5$ و ${{D}_{3}}$ به مرکز $1$ و شعاع $1.5$. بنابراین مقادیر ویژه $A$ در فاصله‌های $[-1,2.5]$ و $[3.5,6.5]$ قرار دارند. می‌توان دید که مقادیر ویژه‌ی $A$ تا سه رقم اعشار عبارتند از:$${{\lambda }_{1}}=0.209,~~{{\lambda }_{2}}=5.305,~~{{\lambda }_{3}}=0.904$$
قضیه‌ی شور:
فرض کنید $A$ یک ماتریس $n\times n$ باشد و ${{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{n}}$ مقادیر ویژه آن باشند. در این صورت:$${{\sum\limits_{k=1}^{n}{\left| {{\lambda }_{k}} \right|}^{2}}}\le {{\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{\left| {{a}_{ij}} \right|^{2}}}}}$$و علامت تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $A$ نرمال باشد؛ یعنی $A{{A}^{H}}={{A}^{H}}A$. نامساوی اخیر، نامساوی شور نامیده می‌شود.
به آسانی می‌توان دید که ماتریسهای هرمیتی، هرمیتی کج و یکانی و همینطور ماتریسهای متقارن حقیقی، پادمتقارن و ماتریسهای متعامد، نرمال هستند.
با توجه به این قضیه می‌توان گفت که اگر $\lambda$ مقدار ویژه‌ی دلخواهی از ماتریس $A$ باشد، آن‌گاه در نامساوی بالا ${{\left| \lambda \right|}^{2}}$ از مجموع سمت چپ کمتر یا با آن برابر است و بنابراین با جذر گرفتن از طرفین بدست می‌آوریم:$$\left| \lambda \right|\le \left({{{\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{\left| {{a}_{ij}} \right|^{2}}}}}}\right)^{1/2}$$توجه کنید که در اینجا، عبارت سمت راست همان نرم فروبنیوس $A$ می‌باشد.
مثال: ماتریس زیر را در نظر بگیرید:$$A=\left[ \begin{matrix} 26 & -2 & 2 \\2 & 21& 4\\ 4 & 2 & 28 \\
\end{matrix} \right]$$از نامساوی شور داریم $\left| \lambda\right|\le \sqrt{1949}<44.2$.
(مقادیر ویژه‌ی $A$ عبارتند از $30$، $25$ و $20$ و داریم ${{30}^{2}}+{{25}^{2}}+{{20}^{2}}=1925<1949$. در واقع ماتریس $A$ نرمال نیست.)
قضیه پرون- فروبنیوس:
فرض کنید $A$ یک ماتریس مربعی حقیقی باشد که تمام عناصرش مثبتند. در این صورت $A$ حداقل یک مقدار ویژه حقیقی مثبت $\lambda $ دارد و بردار ویژه متناظر با این مقدار ویژه را می‌توان حقیقی انتخاب کرد به گونه‌ای که تمام مولفه‌هایش مثبت باشد.
از این قضیه می‌توان نتیجه‌ی سودمند زیر را به‌دست آورد:
قضیه‌ی کولاتز:
فرض کنید $A$ یک ماتریس $n\times n$ حقیقی باشد که تمام عناصرش مثبتند. $x$ را برداری حقیقی بگیرید که مولفه‌های آن، ${{x}_{1}},...,{{x}_{n}}$ مثبتند و فرض کنید ${{y}_{1}},...,{{y}_{n}}$ مولفه‌های بردار $y=Ax$ باشند. در این‌صورت فاصله‌ی بسته‌ای که روی محور حقیقی قرار دارد و با مینیمم و ماکسیمم مقدار از $n$ خارج قسمت ${{q}_{j}}=\frac{{{y}_{j}}}{{{x}_{j}}}$ کراندار شده است، حداقل یک مقدار ویژه $A$ را در بر دارد.
اثبات: با توجه به این که $y=Ax$ داریم $y-Ax=0~~(*)$ همچنین ترانهاده $A$ در شرایط قضیه‌ی پرون-فروبنیوس صدق می‌کند. بنابراین ${{A}^{T}}$ دارای یک مقدار ویژه‌ی مثبت $\lambda $ و متناظر با این مقدار ویژه، دارای یک بردار ویژه $u$ است که تمام مولفه‌های ${{u}_{j}}$ آن مثبتند. بنابراین ${{A}^{T}}u=\lambda u$ . با ترانهاده گرفتن از طرفین این تساوی داریم ${{u}^{T}}A=\lambda {{u}^{T}}$ . از اینجا و $(*)$ نتیجه می‌شود:$${{u}^{T}}(y-Ax)={{u}^{T}}y-{{u}^{T}}Ax={{u}^{T}}(y-\lambda x)=0$$یا $$\sum_{j=1}^nu_{j}(y_{j}-\lambda{x_{j}})=0$$از این که تمام مولفه‌های ${{u}_{j}}$ مثبت هستند نتیجه می‌شود که:
به‌ازای حداقل یک $j$ داریم ${{y}_{j}}-\lambda {{x}_{j}}\ge 0$، یعنی ${{q}_{j}}\ge \lambda $ و به‌ازای حداقل یک $j$ داریم ${{y}_{j}}-\lambda {{x}_{j}}\le 0$، یعنی ${{q}_{j}}\le \lambda $.
حال از آن‌جا که $A$ و ${{A}^{T}}$ مقادیر ویژه‌ی یکسان دارند، $\lambda $ مقدار ویژه‌ی $A$ نیز هست و با توجه به این نتیجه حکم قضیه به اثبات می‌رسد.
مثال: فرض کنید $A=\left[ \begin{matrix} 8 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\\end{matrix} \right]$ با انتخاب $x=\left[ \begin{matrix}1\\1\\1\\\end{matrix} \right]$ داریم: $y=\left[ \begin{matrix}10\\8\\8\\\end{matrix} \right]$.
بنابراین ${{q}_{1}}=10$، ${{q}_{2}}=8$ و ${{q}_{3}}=8$ و قضیه‌ی کولاتز ایجاب می‌کند که یکی از مقادیر ویژه‌ی $A$ باید در فاصله‌ی $[8,10]$ قرار داشته باشد. البته طول چنین فاصله‌ای به انتخاب $x$ بستگی دارد. می‌توان نشان داد که $\lambda =9$ یک مقدار ویژه‌ی $A$ است.
خیلی عالی بود.