منابع آزمون‌های زبان عمومی

یکی از مسائلی که پیش روی دانشجویان مقاطع تحصیلات تکمیلی قرار دارد، شرکت در آزمون‌های زبان عمومی است. این مسئله در میان دانشجویان دکتری نمود بیشتری دارد زیرا معمولاً از دانشجویان دکتری خواسته می‌شود که تا قبل از شرکت در آزمون جامع دکتری نسبت به ارائه‌ی یک مدرک زبان عمومی معتبر اقدام نمایند. با توجه به هزینه‌ی بالای شرکت در آزمون‌های زبان عمومی معتبر جهانی مانند تافل و آیلتس، دانشجویان معمولاً ثبت‌نام در یکی از آزمون‌های داخلی MHLE ،TOLIMO ،MSRT و EPT را ترجیح می‌دهند. در این پست، تعدادی از منابع مورد نیاز این آزمون‌ها قرار داده شده است به امید آن که برای داوطلبان شرکت در این آزمون‌ها مفید واقع شود.

کتاب 504 واژه ضروری زبان انگلیسی

کتاب 400 واژه ضروری تافل

واژگان ضروری تافل (بارونز)

کتاب آمادگی برای آزمون تافل PBT و CBT لانگمن

کتاب بارونز برای آمادگی آزمون تافل به همراه فایل‌های صوتی (20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)

60 مهارت گرامری لانگمن

موفقیت در تافل (پترسون)

مهارت‌های Reading (پترسون)

مهارت‌های Writing (پترسون)

واژگان تافل (پترسون)

کتاب مهارت نگارش انشا برای تافل

کتاب آمادگی برای تافل نوشته‌ی Michael A. Pyle

نمونه سوالات تافل کیت (Reading و  Structure)

32 نمونه Reading آزمون MSRT

توصیه‌هایی از ایوان پاولف به جوانان

پیش از هر چیز «پایداری در اندیشیدن» را توصیه می‌کنم. پایداری در اندیشیدن و باز هم پایداری در اندیشیدن.

دومین توصیه‌ من «فروتنی» است. هرگز فکر نکنید که همه چیز را می‌دانید. اگر برای شما بالاترین قدر و منزلت را قائل شدند، باز همیشه شهامت آن را داشته باشید که بگویید من نادانم.

سومین توصیه من «عشق» است. به خاطر داشته باشید که انسان برای به دست آوردن دانش واقعی باید تمام زندگی خود را فدا کند. اگر شما دو گونه زندگی داشته باشید در کسب علم نارسا خواهید بود. برای شناخت واقعیت، کوششهای توان‌فرسا و شور فراوان لازم است. در کارها و پژوهش‌هایتان پر شور باشید.

ریاضیات به عنوان یک هنر خلاق

این مطلب بخشی از مقاله‌ی زیر است:

Mathematics as a creative art, Amer. Scientist, 56 (1968) 375-389

نوشته‌ی پال هالموس، ترجمه سعید ذاکری

آیا شما هیچ ریاضیدانی را می‌شناسید و اگر می‌شناسید، هیچ می‌دانید که ریاضیدانها وقتشان را چگونه می‌گذرانند؟ اکثر مردم از این امر بی‌اطلاعند. وقتی که در هواپیما سر صحبت را با نفر بغل دستی‌ام باز می‌کنم و او به من می‌گوید که شغل آبرومندی مثل طبابت، وکالت، تجارت، یا ریاست دانشکده دارد وسوسه می‌شوم که بگویم من در کار ساخت و تعمیر سقف و دیوار خانه‌ها هستم. اگر به او بگویم که ریاضیدانم، محتملترین جواب او این است که خود او هرگز نتوانسته حساب و کتاب دفاتر حسابش را تراز کند و خیلی مسخره بود اگر در ریاضیات کاره‌ای می‌شد. اگر بغل دستی‌ام اخترشناس، زیست‌شناس، شیمی‌دان یا دانشمندی از هر نوع دیگر علوم طبیعی یا اجتماعی باشد، که دیگر کلاهم پس معرکه است. چنین آدمی می‌پندارد که می‌داند ریاضیدان کیست، و احتمالا هم اشتباه می‌کند. فکر می‌کند که من وقتم را با تبدیل مرتبه‌های بزرگی، مقایسه ضرایب دوجمله‌ای و توانهای 2، یا حل معادلاتی در باب سرعت واکنش‌ها می‌گذرانم (یا باید بگذرانم)!!

اسنو به وجود دو نوع فرهنگ اشاره و از وجود آنها اظهار تأسف می‌کند؛ او از دست فیزیکدانی عصبانی است که فکر می‌کند ادبیات نوین یعنی آثار دیکنز، و شاعری را سرزنش می‌کند که نمی‌تواند قانون دوم ترمودینامیک را بیان کند. رابطه‌ی ریاضیدانها با آدم‌های تحصیل کرده‌ی دارای حسن نیت اما ناوارد، خیلی بدتر از رابطه‎‌ی فیزیکدانها با شاعرهاست. (اشکالی دارد که همه‌ی غیر ریاضیدانها را ناوارد بنامم؟) این مسئله خیلی مرا می‌آزارد که افراد تحصیل کرده حتی نمی‌دانند که من موضوع کار مشخصی دارم. اینها اسم یک چیزی را ریاضیات گذاشته‌اند، اما نه می‌دانند که ریاضیدانهای حرفه‌ای چطور این واژه را به کار می‌برند و نه می‌توانند تصور کنند که چرا باید کسی به این کار بپردازد. بی‌گمان این امکان هست که فردی که در رشته‌ی خودش آدم مطلعی است، نداند رشته‌های مصرشناسی یا خون‌شناسی هم وجود دارد. اما تنها کافی است به او بگویید که چنین چیزهایی وجود دارد، که در این صورت او به روشی تقریبا کلی، سریعاً در می‌یابد که چرا چنین چیزهایی باید وجود داشته باشند! و با طلبه‌ی این رشته‌ها که علاقمند به آن است مشترکاتی ذهنی هم پیدا خواهد کرد.

آنچه ریاضیدانها انجام می‌دهند.
به عنوان نخستین گام در توضیح این که ریاضیدانها چه کار می‌کنند، بگذارید چند کار را که نمی‌کنند نام ببرم. نخست آنکه سر و کار ریاضیدان با عدد خیلی کم است. شما نمی‌توانید بیش از آنچه از یک نقاش انتظار دارید که یک خط راست بکشد، یا از یک جراح انتظار دارید که شکم بوقلمون را بشکافد، از یک ریاضیدان انتظار داشته باشید که ستونی از ارقام را سریعتر و دقیقتر از آنها جمع بزند. افسانه‌های رایج در میان مردم، این مهارتها را به این حرفه‌ها نسبت می‌دهد، اما این افسانه‌ها نادرستند. به یقین بخشی از ریاضیات به نام نظریه‌ی اعداد وجود دارد، اما حتی آن نیز با اعداد به معنی افسانه‌ایش سر و کار ندارد. یک کارشناس نظریه‌ی اعداد و یک ماشین محاسبه‌ی ویژه‌ی جمع کردن اعداد، چندان با هم دمساز نیستند. ماشین ممکن است از اثبات اینکه $1^3+5^3+3^3=153$  لذت ببرد یا حتی پیشتر برود و کشف کند که تنها پنج عدد صحیح مثبت با خاصیتی که تساوی بالا نشان می‌دهد وجود دارد (1، 153، 370، 371 و 407) اما اکثر ریاضیدانها نمی‌توانند بی‌پروایی کنند؛ بسیاری از آنها برای این قضیه که هر عدد صحیح مثبت مجموع حداکثر چهار مربع کامل است، احترام قائلند و از آن لذت می‌برند حال آنکه بی‌نهایت نهفته در واژه‌ی «هر» می‌تواند هر ماشین معمولی اداری را دچار ترس و بهت‌زدگی کند و در هر صورت این قضیه برای کسی که ریاضیدانها را با اعداد دمساز می‌داند، احتمالا از آن نوع چیزهایی نیست که به فکرش می‌رسد.

برای ریاضیدان نه آن موجودات خیالی داستانهای علمی سال‌های اخیر جالب است و نه حتی مغزهای غول آسا، یعنی ماشین‌های محاسبی که این روزها، زندگی ما را می‌چرخانند. بعضی ریاضیدانها به مسئله‌هایی منطقی علاقمندند که هنگام حل مسئله‌های دشواری از قبیل فهم تکلم کودک کودن به وسیله‌ی ماشین پیش می‌آید: طرح منطقی ماشین‌های محاسب قطعا ریاضیات است. اما این حکم در مورد ساخت آنها صادق نیست، چرا که آن مربوط مهندسی است و محصول این ماشین‌ها، خواه یک لیست حقوق یا دسته‌ای از نامه‌های مرتب شده باشد، خواه یک هواپیمای ما فوق صوت از نظر ریاضی ارزش و اهمیتی ندارد.
ریاضیات، عدد یا ماشین نیست؛ تعیین ارتفاع کوهها به کمک مثلثات یا محاسبه‌ی ربح مرکب به کمک جبر، یا محاسبه‌ی گشتاورهای ماند به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال هم نیست. خیر، دیگر امروز چنین نیست. هر یک از اینها، ممکن است زمانی مهم و یک مسئله‌ی تحقیقاتی غیر بدیهی بوده باشند، اما همین که مسئله حل شد، کاربرد تکراری آن همانقدر به ریاضیات مربوط می‌شود که کار یک اپراتور شرکت مخابرات به نبوغ مارکونی.

دست‌کم دو چیز دیگر هست که ریاضیات نیست. یکی از آنها چیزی است که هرگز ریاضیات نبوده است و دیگری آن است که زمانی جزء ریاضیات بوده و حالا از آن جدا شده است. اوّلی فیزیک است. یک آدم ناوارد، ریاضیات را با فیزیک نظری اشتباه می‌گیرد و مثلا از اینشتین به عنوان یک ریاضیدان بزرگ نام می‌برد. شکی نیست که اینشتین مرد بزرگی بود اما حداکثر همانقدر ریاضیدان بزرگی بود که ویولن‌نواز بزرگی. او برای دریافتن حقایقی در باب عالم از ریاضیات استفاده می‎کرد، و اینکه برای همین منظور از بخش‌های هندسه‌ی دیفرانسیل به طور موفقیت‌آمیزی بهره برد، بازار هندسه‌ی دیفرانسیل را گرم کرده است. از این گذشته، نظریه نسبیت و هندسه‌ی دیفرانسیل یک چیز واحد نیستند. اینشتین، شرودینگر، هایزنبرگ، فرمی، ویگنر و فاینمن همه مردان بزرگی بوده‌اند اما ریاضیدان نبوده‌اند. در واقع بعضی از آنها علیه ریاضیات با افکاری قویا ضد ریاضی تبلیغ می‌کردند و کسر شأن خود می‌دانستند که ریاضیدان نامیده شوند.

آنچه که یک بار ریاضیات بوده، همواره ریاضیات باقی خواهد ماند؛ اما ممکن است چنان هضم شده باشد، چنان فهمیده شده باشد، و در پرتو هزاران سال کوشش و پیگیری آگاهانه چنان بدیهی شده باشد که ریاضیدانها هرگز میل یا نیازی به بررسی دوباره آن نداشته باشند. مسئله‌های مشهور یونانی (تثلیث زاویه، تربیع دایره، تضعیف مکعب) از این قماش‌اند و ریاضیدانها به رغم آماتورهای سرکش و رام نشدنی، دیگر تلاشی برای حل آنها نمی‌کنند. خواهش می‌کنم دقت کنید، منظور این نیست که ریاضیدانها تسلیم شده‌اند. ممکن است شما از قول ریاضیدانها شنیده یا خوانده باشید که تربیع دایره یا تثلیث زاویه ناممکن است و نیز بعید نیست شنیده یا خوانده باشید که به همین دلیل، ریاضیدان موجودی است ترسو و بزدل که به سادگی تسلیم می‌شود و شانه خالی می‌کند و از فتاوی مقتدرانه‌اش برای پوشاندن و توجیه جهل خود بهره می‌گیرد. این نتیجه‌گیری درست است و شما اگر دوست داشته باشید می‌توانید آن را باور کنید. اما اثبات آن ناقص است. نکته‌ی مورد نظرم فوق‌العاده باریک اما مشهور و از نظرگاه تاریخی مورد توجه است. لحظه‌ای بگذارید از موضوع صحبتم منحرف شوم.

گریزی کوتاه:
مسئله‌ی تثلیث زاویه این است: زاویه‌ای مفروض است، زاویه‌ای دیگر بسازید که اندازه‌ی آن درست یک سوم زاویه‌ی اولی باشد. طرح مسئله کاملا ساده است و چندین روش برای حل آن می‌شناسیم. اما نکته در آنجاست که فرمولبندی اولیه‌ی مسئله به وسیله‌ی یونانی‌ها از این دقیق‌تر است. در این فرمولبندی چنان ساختنی مطلوب است که طی آن تنها از خط‌کش و پرگار بهره گرفته شود. حتی این هم شدنی است و من قادرم در عرض یک دقیقه روش کاملا ساده‌ای به شما نشان دهم و در عرض دو دقیقه شما را متقاعد کنم که این روش زاویه‌ی مطلوب را به دست می‌دهد. ولی مشکل اصلی آن است که فرمولبندی دقیق مسئله از این هم دقیق تر است. فرمولبندی دقیق، ترسیمی را می‌طلبد که تنها از خط‌کش و پرگار استفاده کند و به‌علاوه دست ما را در نحوه‌ی به‌کارگیری آنها شدیدأ می‌بندد؛ مثلا علامت زدن دو نقطه روی خط‌کش و استفاده از آن دو در ترسیمات بعدی مجاز نیست. فرمولبندی دقیق و حقیقی آنچه که قوانین یونانی مجاز یا ممنوع می‌شمرد، مستلزم یک قانونمندی دقیق است. تثلیث‌گر تازه از گرد راه رسیده، یا آن قوانین را نمی‌داند، یا آنها را می‌داند و فکر می‌کند که هدف، رسیدن به یک تقریب خوب است. یا قوانین آن را می‌داند و می‌داند که جواب دقیق مطلوب است، اما می‌گذارد که خواسته‌اش بر عمل دقیق بچربد و به راحتی گرفتار خطا می‌شود. طرز فکر چنین شخصی مثل دید یک آدم مریخی نسبت به بازی گلف است. آدم مریخی با دیدن بازی گلف می‌گوید: اگر هم و غم شما این است که آن توپ کوچک سفید در آن سوراخ کوچک سبز بیفتد، چرا خودتان نمی‌روید توپ را بردارید و در سوراخ بیندازید؟

از شما اجازه می‌خواهم که علاوه بر گریز پیشین، گریز دیگری هم بزنم. مایلم توجه شما را به این نکته جلب کنم که وقتی یک ریاضیدان می‌گوید چیزی ناممکن است، منظورش این نیست که آن چیز خیلی دشوار است و فراسوی قدرت او و احتمالا همه‌ی انسانهای چند نسل پیش از اوست. این نوع فکر وقتی مورد نظر است که می‌گوییم ناممکن است بتوان در ارتفاع پنج میلی‌ سطح زمین با سرعت صورت پرواز کرد، یا بتوان لحظه به لحظه با کسی در فاصله‌ی هزار میلی ارتباط برقرار کرد، یا بتوان با انگولک کردن رمزهای ژنتیکی، نژادی از شهروندان به وجود آورد که هم خردمند باشند و هم در صلح و صفا زندگی کنند. اینها چیزهایی است که لاف‌زن حرفه‌ای می‌تواند تحقیرشان کند (چنین لاف‌زنی می‌گوید: اینها که چیزی نیست، تنها کمی بیشتر وقت می‌گیرد). اما ناممکن ریاضی چیز دیگری است. کم قیل و قال‌تر و مطمئن‌تر است. ناممکن ریاضی، ناممکن منطقی است. وقتی ریاضیدان می‌گوید که ناممکن است که بتوان عدد مثبتی یافت که مجموعش با 10 کوچکتر از 10 شود، صرفا به یاد ما می‌آورد که این واژه‌ها (مثبت، مجموع، 10، کوچکتر) چه معنی می‌دهند. وقتی می‌گوید ناممکن است بتوان با خط‌کش و پرگار زاویه‌ای را به سه قسمت مساوی تقسیم کرد، دقیقا چیزی از همین نوع را مد نظر دارد؛ تنها تعداد لغات فنی به کار گرفته شده چندان زیاد و بحث‌هایی که آن‌ها را به هم پیوند می‌دهد چنان مفصل است که مثنوی هفتاد من کاغذ می‌شود.

نقطه شروع ریاضیات
هیچکس نمی‌داند که نطفه‌ی ریاضیات کی و کجا یا اینکه چگونه بسته شد؛ اما ظاهرا منطقی آن است که بپذیریم ریاضیات از همان مشاهدات فیزیکی اولیه (شمردن و اندازه‌گیری) که بینش ریاضی همه‌ی ما با آن آغاز می‌شود، پدیدار شده است. در واقع ممکن است در آغاز کار، بسیاری از ایده‌های ریاضی، و احتمالاً نه همه‌ی آنها، از تفکر محض نشأت نگرفته، بلکه نتیجه‌ی احتیاج بوده باشند. تقریباً همان موقعی که انسان به ضرورت شمارش گوسفندهایش پی برد (یا زودتر؟)، تفکر درباره عددها، شکل‌ها، حرکت‌ها و آرایش‌ها را آغاز کرد. به نظر می‌رسد که کنجکاوی در مورد این چیزها، به اندازه‌ی کنجکاوی در مورد زمین، آب، آتش و هوا و کنجکاوی-کنجکاوی خردمندانه‌ی ناب- درباره‌ی ستارگان و حیات برای روح آدمی ضروری باشد. عددها، شکل‌ها، حرکت‌ها و آرایش‌ها، و نیز اندیشه‌ها و ترتیب آنها، و مفاهیمی چون «خاصیت» و «رابطه»، جملگی خمیرمایه‌ی ریاضیات را شکل می‌دهند. مفهوم تکنیکی اما اساسی «گروه» بهترین راه برای درک مفهوم شهودی «تقارن» از سوی انسان است و کسانی که فضاهای توپولوژیک، مسیرهای ارگودیک و گرافهای جهتدار را بررسی می‌کنند، تصور مبهم و خام ما را در مورد شکل‌ها، حرکت‌ها و آرایش‌ها دقت می‌بخشند.

چرا ریاضیدانها این چیزها را بررسی می‌کنند، و چرا باید این کار را بکنند؟ به بیان دیگر چه چیز موجب انگیزش یک ریاضیدان می‌شود؛ و چرا جامعه وسایل پیشرفت او را دست کم تا حد پرورش و سپس تأمین معاشش فراهم می‌آورد؟ برای اینکه وقت لازم را برای تفکر در اختیار او بگذارد؟ برای هر یک از پرسش‌های بالا دو پاسخ وجود دارد: "چون ریاضیات عملی است و چون ریاضیات یک هنر است." ریاضیات عصر حاضر، هر روز کاربرد بیشتر و بیشتری می‌یابد و رشد سریع کاربردهای مورد نظر، ریاضیات عملی جدید و جدیدتری را ملهم می‌کند. در عین حال با رشد کمی ریاضیات و افزایش سریع افرادی که در حوزه‌ی آن تفکر می‌کنند، مفاهیم جدیدتری احتیاج به تشریح و توضیح پیدا می‌کنند، و مناسبات متقابل منطقی جدیدتری پیدا می‌شود که باید آن‌ها را بررسی، درک و ساده کرد، و در این حال درخت ریاضیات شکوفه‌های پر جلوه‌ی بیشتری می‌دهد که نزد بسیاری از ناظران، ارزش آن‌ها خیلی بیشتر از ریشه‌هایی است که سرچشمه‌ی آن‌ها بوده، یا عللی که سبب به وجود آوردن آن‌ها شده است.

درخت ریاضیات

چند سال پیش متداول شده بود که ریاضیات را به شکل یک درخت، معمولاً یک بلوط بزرگ، نشان بدهند. ریشه‌های این درخت عناوینی از قبیل جبر، هندسه‌ی مسطحه، مثلثات، هندسه تحلیلی، و اعداد گویا داشتند. از این ریشه‌ها تنه‌ی تنومند درخت برمی‌خاست که بر آن حسابان نقش بسته بود. سپس، از بالای تنه، شاخه‌های متعددی منشعب و به شاخه‌های کوچکتری تقسیم می‌شدند. به این شاخه‌ها، عناوین شاخه‌های مختلف ریاضیات عالی نظیر متغیرهای مختلط، متغیرهای حقیقی، حساب تغییرات، احتمالات، و غیره داده شده بود.

منظور از این درخت ریاضیات آن بود که گذشته از ارائه‌ی چگونگی رشد تاریخی ریاضیات به دانشجو، مسیری را هم که دانشجو باید برای ادامه این موضوع طی کند، خاطرنشان سازد. بدین ترتیب، در دبیرستان و شاید در سال اول دانشکده، دانشجو باید وقت خود را صرف مطالعه‌ی موضوع‌های بنیادی بنماید که ریشه‌ی این درخت را تشکیل می‌دهند. سپس، در دوره‌ی دانشکده، وی باید از طریق یک برنامه‌ی سنگین، کاملاً به حسابان تسلط یابد. بعد از انجام این کار، دانشجو می‌تواند آن شاخه‌هایی از ریاضیات را که مایل به ادامه‌ی آنهاست، دنبال نماید.

آن اصل آموزشی‌ای که درخت ریاضیات پشتوانه‌ی آن است احتمالاً اصل صحیحی است، زیرا مبتنی بر قانون مشهوری است که چکیده‌ی آن توسط زیست‌شناسان چنین بیان شده است: «اونتوژنی (Ontogeny) تکرار فیلوژنی (Phylogeny) است»، که به زبان ساده بدین معنی است که در حالت کلی «تکامل فرد بازگوی تکامل گروه است». یعنی، حداقل در چهارچوب کلی، یک دانشجو هر موضوع را تقریباً به همان ترتیبی فرا می‌گیرد که آن موضوع طی سالیان دراز بدان صورت رشد یافته است. به عنوان مثالی خاص، هندسه را در نظر بگیرید. قدیمی‌ترین هندسه را شاید بتوان هندسه‌ی ناخودآگاه نامید که منشأ آن مشاهدات ساده‌ای است که از توانایی انسان در تشخیص شکل ظاهری و مقایسه‌ی اشکال و اندازه‌ها ناشی می‌شد. پس از آن هندسه به هندسه‌ی علمی، یا تجربی بدل شد، و هندسه زمانی به این مرحله رسید که عقل انسانی می‌توانست از مجموعه‌ای از روابط ملموس یک قانون مجرد کلی (یک قانون هندسی) استخراج کند که مورد اول را به عنوان حالات خاصی در بر داشت. قسمت اعظم هندسه مقدم بر دوره‌ی یونانی از این نوع تجربی بود. بعداً، در واقع و در دوره‌ی یونانی، هندسه به درجه‌ی بالاتری ارتقا یافت و به هندسه‌ی برهانی بدل شد. اصل آموزش اساسی که در اینجا مطرح است، در واقع داعیه‌ی آن را دارد که هندسه باید بدواً در شکل ناخودآگاه آن، احتمالا از طریق کارهای هنری و مشاهدات ساده‌ی طبیعت، به کودکان عرضه شود. سپس، کمی بعد از آن، این مبنای ناخودآگاه به هندسه‌ی علمی متکامل گردد، که در آن دانش‌آموزان به مقدار قابل توجهی به حقایق هندسی از طریق انجام تجربه با پرگار و ستاره، با خط کش و نقاله، و با قیچی و خمیر پی می‌برند. تازه بعد از آن، وقتی دانش‌آموز به قدر کافی ورزیدگی یافته باشد، هندسه را می‌توان در شکل برهانی، یا قیاسی آن عرضه کرد، و محاسن و معایب فرآیندهای استقرایی پیشین را خاطرنشان کرد.

پس در اینجا به آن اصل آموزشی که درخت ریاضیات پشتوانه‌ی آن است اعتراضی نداریم. اما درباره‌ی خود درخت چه؟ آیا این درخت هنوز هم تصویر کاملاً معقولی از ریاضیات امروزی را عرضه می‌کند؟ به نظر ما چنین نیست. روشن است که یک درخت ریاضیات تابعی از زمان است. درخت بلوطی که قبلاً توصیف شد مطمئناً نمی‌تواند، مثلاً، درخت ریاضیات دوره‌ی اسکندر کبیر باشد. این درخت بلوط نمودار مناسبی از وضع ریاضیات در قرن هجدهم و بخش زیادی از قرن نوزدهم است، زیرا در آن سالها تلاش‌های عمده‌ی ریاضی بسط، توسیع، و کاربرد حسابان بود. ولی با رشد فوق‌العاده‌ی ریاضیات در قرن بیستم، تصویر کلی ریاضیات که به کمک درخت بلوط داده می‌شود، دیگر مصداق پیدا نمی‌کند. شاید اظهار این مطلب کاملاً درست باشد که امروز بخش عمده‌ی ریاضیات با حسابان و توسیع‌های آن ارتباط نداشته یا ارتباط کمی دارد. مثلاً زمینه‌های گسترده مورد پوشش جبر مجرد، ریاضیات متناهی، نظریه‌ی مجموعه‌ها، ترکیبیات، منطق ریاضی، مبحث اصل موضوعی‌ها، نظریه‌ی غیرتحلیلی اعداد، مباحث اصل موضوعی هندسه، هندسه‌های متناهی و غیره را می‌توان ذکر کرد.

درخت ریاضیات را، برای آنکه ریاضیات امروزی را عرضه نماید، باید از نو رسم کنیم. خوشبختانه درخت ایده‌آلی برای این نمایش جدید موجود است: درخت انجیر هندی. درخت انجیر هندی درختی چندتنه‌ای است که پیوسته تنه‌های جدیدی بر آن می‌روید. بدین ترتیب که از شاخه‌‌ای از آن، الیاف نخ مانندی به طرف پایین گسترده می‌شود تا به زمین برسد. در آنجا این قسمت ریشه می‌گیرد و طی چند سال بعد این رشته ضخیم و ضخیم‌تر می‌شود و با گذشت زمان خود به تنه‌ای با شاخه‌های زیاد مبدل می‌شود، که هر یک الیاف نخ مانند خود را به زمین می‌اندازند.



برخی از درخت‌های انجیر هندی هستند که دهها تنه دارند، و از لحاظ جا به اندازه‌ی یک بلوک شهری را اشغال می‌کنند. این درخت‌ها، مانند درخت بلوط تنومند، زیبا هستند و عمر طولانی دارند؛ چنین ادعا می‌شود که آن درخت انجیر هندی، که بودا در مواقع تفکر به آن تکیه می‌داده، هنوز هم زنده و در حال رویش است. بنابراین درخت انجیر هندی برای درخت ریاضیات امروزی شکل با ارزش و دقیق‌تری دارد. طی سال‌های آینده، تنه‌های جدیدی پدید خواهند آمد، و برخی از تنه‌های پیرتر شاید پژمرده و خشک شوند. دانشجویان مختلف می‌توانند تنه‌های مختلفی از این درخت را برای صعود انتخاب کنند و هر دانشجو ابتدا مبانی‌ای را که ریشه‌های تنه‌ی انتخابی او در بر می‌گیرند، مطالعه می‌کند. البته همه‌ی این تنه‌ها در بالا توسط یک سلسله شاخه‌های در هم‌رفته‌ی درخت با هم ارتباط پیدا می‌کنند. تنه‌ی حسابان هنوز زنده و فعال است، اما مثلاً تنه‌ای هم برای جبرخطی، تنه‌ای برای منطق ریاضی، و تنه‌های دیگری هم وجود دارند.

ریاضیات آن‌چنان گسترش یافته که امروزه ممکن است شخص ریاضیدانی بسیار بارور و خلاق باشد ولی از حسابان و توسیع‌های آن چندان اطلاعی نداشته باشد. ماها که امروزه در دانشگاه‌ها تدریس می‌کنیم با اصرار بر اینکه همه‌ی دانشجویان باید ابتدا از تنه‌ی حسابان درخت ریاضیات بالا روند، به برخی از آن‌ها زیان می‌رسانیم. علی رغم همه جذابیت و زیبایی حسابان، این طور نیست که این درس به مذاق همه‌ی دانشجویان خوش بیاید. با مجبور کردن همه‌ی دانشجویان با بالا رفتن از تنه‌ی حسابان، شاید ریاضیدانان مستعد بالقوه‌ای را از دست بدهیم. کوتاه سخن آنکه، اکنون شاید زمان آن رسیده باشد که فن آموزش ریاضی خود را برای آنکه مناسب درخت ریاضیاتی باشد که توسعه‌ی تاریخی کنونی این موضوع را بهتر منعکس نماید، اصلاح کنیم.

هاورد ویتلی ایوِز- آشنایی با تاریخ ریاضیات

آشنایی با روش‌های بهینه‌سازی نامقید (4)

در آموزش‌های قبل با برخی از روش‌های کمینه‌سازی نامقید آشنا شدیم. در این قسمت به  معرفی روش‌های شبه‌نیوتن می‌پردازیم که برای رفع اشکالات روش‌ نیوتن معرفی شده‌اند. انگیزه‌ی اصلی طرح روش‌های شبه‌نیوتن دست‌یابی به همگرایی سریع روش نیوتن حداقل به‌طور میانگین است بدون آن‌که نیاز به محاسبه‌ی ماتریس هسین و وارون آن در هر گام باشد. این کار با به‌دست آوردن تقریب‌هایی برای وارون هسین بر اساس اطلاعات جمع‌آوری شده در فرآیند کاهشی انجام می‌شود و  روش‌هایی که از این طریق بدست می‌آیند عموماً دارای همگرایی فوق‌خطی می‌باشند.

تاریخچه‌ی کوتاهی از روش‌های شبه‌نیوتن
در اواسط دهه‌ی 1950 دیویدان، فیزیکدان شاغل در آزمایشگاه ملی آرگون، روش‌ کاهش مختصاتی را برای انجام محاسبات بهینه‌سازی به کار می‌برد. در آن زمان دستگاه‌های کامپیوتری از توانایی محاسباتی بالایی برخوردار نبودند. بنابراین دیویدان تصمیم گرفت راهی پیدا کند که فرآیند تکرار الگوریتم را بهبود بخشد. الگوریتم او اولین الگوریتم شبه‌نیوتن بود که انقلابی در بهینه‌سازی غیرخطی ایجاد کرد. دیری نپایید که توسط فلچر و پاول  ثابت شد که این الگوریتم جدید بسیار سریع‌تر و قابل اطمینان‌تر از دیگر روش‌های موجود آن زمان است و این پیشرفت به‌طور چشمگیری بهینه‌سازی غیرخطی را دگرگون کرد. در طول بیست سال بعد الگوریتم‌های شبه‌نیوتن متعددی مطرح و در صدها مقاله به مطالعه‌ی آن‌ها پرداخته شد. حکایت تاریخی جالبی که در این زمینه وجود دارد آن است که، مقاله‌ی دیویدان حدود 30 سال و به بهانه‌ی این‌که صرفاً گزارشی فنی است برای انتشار پذیرفته نشد تا این‌که سرانجام در سال 1991 در مجله‌ی بهینه‌سازی $SIAM$ به چاپ رسید.
همان‌گونه که گفته شد پس از معرفی اولین روش شبه‌نیوتن توسط دیویدان، فلچر و پاول (1963) که به الگوریتم $DFP$ معروف است، الگوریتم‌های شبه‌نیوتن متعددی مطرح شدند. ابتدا روش تصحیح رتبه یک ($SR1$) به وسیله‌ی دیویدان و برویدن (1967) عرضه شد و سپس روش $BFGS$ را برویدن، فلچر، گلدفارب و شانو در سال 1970 مستقل از یکدیگر معرفی کردند. ادبیات موضوع نشان می‌دهد که این الگوریتم به‌عنوان مؤثرترین الگوریتم به‌هنگام‌سازی در مسائل نامقید پذیرفته شده است. روش خانواده‌ی برویدن در سال 1970 توسط برویدن مطرح شد. این روش که از ترکیب محدب دو روش $DFP$ و $BFGS$ حاصل می‌شود به صورت زیر است:
$${{H}_{k}}\left( B \right)={{\varphi }_{k}}{{H}_{BFGS}}+\left( 1-{{\varphi }_{k}} \right){{H}_{DFP}},~~~~~~~0\le {{\varphi }_{k}}\le 1,$$ یک روش برویدن بنا به تعریف روشی است که در هر تکرار آن یکی از اعضای خانواده‌ی برویدن به عنوان تقریب معکوس هسین در نظر گرفته می‌‌شود. ابتدا کوشش‌های فراوانی برای یافتن بهترین دنباله‌ی ${{\varphi }_{k}}$ها در یک روش برویدن انجام شد تا این‌که سرانجام دیکسون  در سال 1972 نشان داد که همه‌ی روش‌ها در حالت جستجوی خطی دقیق معادل یک‌دیگرند.
رده‌ی دیگری از روش‌های شبه‌نیوتن که محبوبیت خاصی در میان محققان پیدا کرده‌اند، روش‌های $LBFGS$ یا روش‌های $BFGS$ حافظه‌محدود هستند که الگوریتم $BFGS$ را با استفاده‌ی حداقلی از حافظه‌ی کامپیوتر برای مسائل در مقیاس بزرگ تقریب می‌کنند. نخستین الگوریتم $LBFGS$ را نوسدال در سال 1980 برای حل عددی مسائل بهینه‌سازی نامقید در ابعاد بزرگ ارائه داد.

ایده‌ی کلی روش‌های شبه‌نیوتن
همان‌طور که قبلاً گفته شد، روش نیوتن دو عیب اساسی دارد؛ اولین عیب این روش آن است که اگر تعداد متغیر‌های تابع هدف زیاد باشد به دست آوردن و معکوس کردن ماتریس هسین تابع، که در هر گام این روش انجام می‌شود، مستلزم محاسباتی سنگین است. عیب دوم این روش آن است که برای یک تابع هدف کلی همگرایی آن به جواب نمی‌تواند با شروع از هر نقطه‌ی ${{x}_{0}}$  تضمین شود. در حقیقت اگر نقطه‌ی شروع به اندازه‌ی کافی به جواب نزدیک نباشد ماتریس هسین ممکن است معین مثبت نباشد و الگوریتم خاصیت کاهشی را حفظ نکند.
روش‌های شبه‌نیوتن برای رفع مشکلات روش نیوتن طراحی شده‌اند و جانشین مناسبی برای آن هستند. از آن‌جا که این روش‌ها تنها از اطلاعات تابع هدف و مشتقات اول آن استفاده می‌کنند در آن‌ها نیازی به محاسبه‌ی‌ وارون ماتریس هسین و ذخیره‌سازی آن نیست. هم‌چنین این روش‌ها معمولاً دارای همگرایی فوق‌خطی هستند که از این نظر بینابین روش تندترین کاهش و نیوتن قرار دارند.

تعیین حدود مقادیر ویژه‌ی یک ماتریس

یکی از مسائل اساسی که در جبر خطی عددی بررسی می‌شود، تعیین مقادیر ویژه یک ماتریس است. در این مطلب برخی از قضایا را که در تعیین کران‌های مقادیر ویژه یک ماتریس به کار می‌روند، بیان می‌کنیم.

قضیه‌ گرشگورین:
فرض کنید $A$ یک ماتریس $n\times n$ باشد. در این‌صورت اجتماع دیسک‌های زیر، موسوم به دیسک‌های گرشگورین، تمام مقادیر ویژه‌ی $A$ را در بر می‌گیرد:$$\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le \sum\limits_{j=1,j\ne i}^{n}{\left| {{a}_{ij}} \right|};~~~~i=1,2,...,n~~~~(1)$$همچنین اجتماع هر $k$ دیسک گرشگورین که $(n-k)$ تای دیگر را قطع نکنند، دقیقا شامل $k$ مقدار ویژه $A$ با احتساب تکرار می‌باشد.
نتیجه: با توجه به اینکه مجموعه‌ی مقادیر ویژه‌ $A$ و ${{A}^{H}}$ با هم برابرند می‌توان قضیه فوق را در مورد ${{A}^{H}}$ به کار گرفت. به عبارت دیگر مقادیر ویژه‌ی $A$ در دیسک‌های زیر نیز قرار دارند:$$\left| z-{{a}_{jj}} \right|\le \sum\limits_{i=1,i\ne j}^{n}{\left| {{a}_{ij}} \right|};~~~~j=1,2,...,n~~~~(2)$$بنابراین اگر اجتماع دیسک‌های تعریف شده در (1) را با ${{C}_{r}}$ و اجتماع دیسک‌های تعریف شده در (2) را با ${{C}_{c}}$ نشان ‌دهیم می‌توان گفت تمام مقدار ویژه‌های $A$ در ${{C}_{r}}\cap {{C}_{c}}$ قرار می‌گیرند.
مثال:  فرض کنید$$A=\left[ \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 5 & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 \\\end{matrix} \right]$$چون ماتریس $A$ متقارن و حقیقی است، تمام مقدار ویژه‌ها حقیقی هستند و قضیه گرشگورین و نتیجه‌ی بعد آن هر دو به یک جواب منجر می‌شوند. دیسک‌های گرشگورین در این‌جا عبارتند از ${{D}_{1}}$ به مرکز $0$ و شعاع $1$، ${{D}_{2}}$ به مرکز $5$ و شعاع $1.5$ و ${{D}_{3}}$ به مرکز $1$ و شعاع $1.5$. بنابراین مقادیر ویژه‌ $A$ در فاصله‌های $[-1,2.5]$ و $[3.5,6.5]$ قرار دارند. می‌توان دید که مقادیر ویژه‌ی $A$ تا سه رقم اعشار عبارتند از:$${{\lambda }_{1}}=0.209,~~{{\lambda }_{2}}=5.305,~~{{\lambda }_{3}}=0.904$$

قضیه‌ی شور:
فرض کنید $A$ یک ماتریس $n\times n$ باشد و ${{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{n}}$ مقادیر ویژه آن باشند. در این صورت:$${{\sum\limits_{k=1}^{n}{\left| {{\lambda }_{k}} \right|}^{2}}}\le {{\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{\left| {{a}_{ij}} \right|^{2}}}}}$$و علامت تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $A$ نرمال باشد؛ یعنی $A{{A}^{H}}={{A}^{H}}A$. نامساوی اخیر، نامساوی شور نامیده می‌شود.

به آسانی می‌توان دید که ماتریس‌های هرمیتی، هرمیتی کج و یکانی و همینطور ماتریس‌های متقارن حقیقی، پادمتقارن و ماتری‍س‌های متعامد، نرمال هستند.
با توجه به این قضیه می‌توان گفت که اگر $\lambda$ مقدار ویژه‌ی دلخواهی از ماتریس $A$ باشد، آن‌گاه در نامساوی بالا ${{\left| \lambda \right|}^{2}}$ از مجموع سمت چپ کمتر یا با آن برابر است و بنابراین با جذر گرفتن از طرفین بدست می‌آوریم:$$\left| \lambda \right|\le \left({{{\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{\left| {{a}_{ij}} \right|^{2}}}}}}\right)^{1/2}$$توجه کنید که در این‌جا، عبارت سمت راست همان نرم فروبنیوس $A$ می‌باشد.
مثال: ماتریس زیر را در نظر بگیرید:$$A=\left[ \begin{matrix} 26 & -2 & 2 \\2 & 21& 4\\ 4 & 2 & 28  \\
\end{matrix} \right]$$از نامساوی شور داریم $\left| \lambda\right|\le \sqrt{1949}<44.2$.

(مقادیر ویژه‌ی $A$ عبارتند از $30$، $25$ و $20$ و داریم ${{30}^{2}}+{{25}^{2}}+{{20}^{2}}=1925<1949$. در واقع ماتریس $A$ نرمال نیست.)

 

قضیه پرون- فروبنیوس:
فرض کنید $A$ یک ماتریس مربعی حقیقی باشد که تمام عناصرش مثبتند. در این صورت $A$ حداقل یک مقدار ویژه حقیقی مثبت $\lambda $ دارد و بردار ویژه متناظر با این مقدار ویژه را می‌توان حقیقی انتخاب کرد به گونه‌ای که تمام مولفه‌هایش مثبت باشد.

از این قضیه‌ می‌توان نتیجه‌ی سودمند زیر را به‌دست آورد:

 قضیه‌ی کولاتز:
فرض کنید $A$ یک ماتریس $n\times n$ حقیقی باشد که تمام عناصرش مثبتند. $x$ را برداری حقیقی بگیرید که مولفه‌های آن، ${{x}_{1}},...,{{x}_{n}}$ مثبتند و فرض کنید ${{y}_{1}},...,{{y}_{n}}$ مولفه‌های بردار $y=Ax$ باشند. در این‌صورت فاصله‌ی بسته‌ای که روی محور حقیقی قرار دارد و با مینیمم و ماکسیمم مقدار از $n$ خارج قسمت ${{q}_{j}}=\frac{{{y}_{j}}}{{{x}_{j}}}$ کراندار شده است، حداقل یک مقدار ویژه $A$ را در بر دارد.
اثبات: با توجه به این که $y=Ax$ داریم $y-Ax=0~~(*)$ همچنین ترانهاده $A$ در شرایط قضیه‌ی پرون-فروبنیوس صدق می‌کند. بنابراین ${{A}^{T}}$ دارای یک مقدار ویژه‌ی مثبت $\lambda $ و متناظر با این مقدار ویژه، دارای یک بردار ویژه $u$ است که تمام مولفه‌های ${{u}_{j}}$ آن مثبتند. بنابراین ${{A}^{T}}u=\lambda u$ . با ترانهاده گرفتن از طرفین این تساوی داریم ${{u}^{T}}A=\lambda {{u}^{T}}$ . از اینجا و $(*)$ نتیجه می‌شود:$${{u}^{T}}(y-Ax)={{u}^{T}}y-{{u}^{T}}Ax={{u}^{T}}(y-\lambda x)=0$$یا $$\sum_{j=1}^nu_{j}(y_{j}-\lambda{x_{j}})=0$$از این که تمام مولفه‌های ${{u}_{j}}$ مثبت هستند نتیجه می‌شود که:

به‌ازای حداقل یک $j$ داریم ${{y}_{j}}-\lambda {{x}_{j}}\ge 0$، یعنی ${{q}_{j}}\ge \lambda $ و به‌ازای حداقل یک $j$ داریم ${{y}_{j}}-\lambda {{x}_{j}}\le 0$، یعنی ${{q}_{j}}\le \lambda $.

حال از آن‌جا که $A$ و ${{A}^{T}}$ مقادیر ویژه‌ی یکسان دارند، $\lambda $ مقدار ویژه‌ی $A$ نیز هست و با توجه به این نتیجه‌ حکم قضیه به اثبات می‌رسد.

مثال: فرض کنید $A=\left[ \begin{matrix} 8 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 5  \\\end{matrix} \right]$ با انتخاب $x=\left[ \begin{matrix}1\\1\\1\\\end{matrix} \right]$ داریم: $y=\left[ \begin{matrix}10\\8\\8\\\end{matrix} \right]$.

بنابراین ${{q}_{1}}=10$، ${{q}_{2}}=8$ و ${{q}_{3}}=8$ و قضیه‌ی کولاتز ایجاب می‌کند که یکی از مقادیر ویژه‌ی $A$ باید در فاصله‌ی $[8,10]$ قرار داشته باشد. البته طول چنین فاصله‌ای به انتخاب $x$ بستگی دارد. می‌توان نشان داد که $\lambda =9$ یک مقدار ویژه‌ی $A$ است.

ریاضیات و شعر

ادبیات پارسی سرشار از زیبایی است و اگر از دید ریاضیات به آن بنگریم، زیبایی‌های آن دوچندان می‌شود. در این پست می‌خواهیم چند نمونه از این زیبایی‌ها را بیان کنیم.

1. تقارن
هر مصراع بیت زیر را که از آخر بخوانید، خودش می‌شود.

شـکـر بـترازوی وزارت برکــش

شو همره بلبل بلب هر مهوش

دو نمونه‌ی دیگر:

ز نطنز آمد رخت خرد ما ز نطنز

ز نطنزم ز نطنزم ز نطنزم ز نطنز

تن ما خــاک باب کـــاخ اَمنـت

براه (به راه) مأمنت نمّام هارب

  و یک نمونه‌ی عالی‌ در شعر زیر که اگر شعر را از انتها به ابتدا (با چشم‌پوشی از چند مورد خاص) بخوانیم خودش می‌شود.

 

آرام برای حور دارم یارا		زین شوخ مراد ما دمی مرگ روا
امشب می و کنجی همه شب همره		خوش ناز منی بلا مجو مرگ مرا
آیم بر حرب زور ای مه ناخوش		شو خانه میا روز بر حرب میا
آرم کَرم و جمال بینم زان شوخ		هر مه بشهم هیچ نگویم بشما
آور که می مدام دارم خوش نیز		آرای مراد روح یا رب ما را

 
2. تناظر یک به یک

به روز نبرد آن یل ارجمند		به شمشیر و خنجر به گرز و کمند
برید و درید و شکست و ببست		یلان را سر و سینه و پا و دست

 

افروختن و سوختن و جامه دریدن

پروانه ز من، شمع ز من، گل ز من آموخت

سال و فال و مال و حال و اصل و نسل و تخت و بخت		بادت اندر شهریاری بر قرار و بر دوام
سال خرم، فال نیکو، مال وافر، حال خوش		اصل ثابت، نسل باقی، تخت عالی، بخت رام

3. ماتریس‌های متقارن

از چهره‌ی	افروخته	گل را	مشکن
افــروخته	رخ مرو	تو دگر	به چمن
گل را	تو دگر	مکن خجل	ای مه من
مشکن	به چمن	ای مه من	قدر سخن

 

ز فراقتِ	آن دلبر	من دائم	بیمارم
آن دلبر	کز عشقش	با دردم	بیدارم
من دائم	با دردم	بی‌مونس	بی یارم
بیمارم	بیدارم	بی یارم	غمخوارم

 

به جانت	نگارا	که داری	وفا
نگارا	وفا کن	به دل	بی جفا
که داری	به دل	دوستی	مر مرا
وفا	بی جفا	مر مرا	خوش ترا

 

4. پارادوکس

جامه‌اش شولای عریانی است!

اگر گویا و پیدایی یکی خاموش پنهان شو/  خوشا خاموش گویا و خوشا پیدای پنهانی

هرگز وجود حاضر غایب شنیده‌ای/  من در میان جمع و دلم جای دیگر است

این قصه عجب شنو از بخت واژگون/  ما را بکشت یار به انفاس عیسوی!

ساکنان حرم ستر و عفاف ملکوت/  با من راه نشین باده مستانه زدند!

کتاب‌های معادلات دیفرانسیل

در این پست تعدادی کتاب در زمینه معادلات دیفرانسیل قرار می‌دهم که امیدوارم برای دانشجویان ریاضی کاربردی مفید واقع شود.

نخستین درس در معادلات دیفرانسیل، لوگان

معادلات دیفرانسیل مقدماتی، ادواردز و پنی

معادلات دیفرانسیل و مسائل مقدار مرزی، زیل و کولن

آشنایی با معادلات دیفرانسیل معمولی، رابینسون

حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی، اتکینسون، هان و استوارت

روش‌های عددی برای معادلات دیفرانسیل معمولی، گریفیتس و هایام

روش‌های عددی حل معادلات دیفرانسیل معمولی، بوچر

حل معادلات دیفرانسیل معمولی I (مسائل غیر سخت)، هایرر، نُرست و وانر

حل معادلات دیفرانسیل معمولی II (مسائل سخت و دیفرانسیلی جبری)، هایرر و وانر

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، ایوانز

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، جاست

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی کاربردی، لوگان

آشنایی با معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی، لوگان

مسائل مقدار مرزی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، پاورز

روشهای تفاضلات متناهی برای معادلات دیفرانسیل معمولی و با مشتقات جزئی، لِوِک

حل عددی معادلات با مشتقات جزئی، روشهای تفاضلات متناهی، اسمیت (pdf)

مصاحبه با راجر فلچر

An Interview with Roger Fletcher

Yu-Hong Dai

Introduction: Roger Fletcher is one of the pioneers and leading figures in nonlinear optimization. He is the "F" of both DFP and BFGS quasi-Newton methods, andthe "Fletcher" of Fletcher-Reeves nonlinear conjugate gradient method. Not to mention his many other sustained and fundamental achievements, his recent  pioneering "filter" approach with Sven Leyffer renovated the algorithm design in nonlinear optimization once again. His famous books, Practical Methods of Optimization (Volumes I and II), have deeply influenced both the optimization community and the applied sciences. Due to his illustrious accomplishments, he was awarded the prestigious Dantzig Prize in 1997 jointly by SIAM and the  Mathematical Programming Society. He is also a Fellow of the Royal Society and of the Institute of Mathematics and its Applications. It is really my pleasure to interview him particularly about the topic of nonlinear conjugate gradient and quasi-Newton methods, thanks to the idea of Jorge Nocedal.

پیاده‌ سازی روش گرادیان مزدوج

چنان که در آموزش قبل گفته شد، روش گرادیان مزدوج یک روش تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی $Ax=b$ می‌باشد که در آن $A$ ماتریسی $n\times n$ متقارن و معین مثبت است. همچنین این روش، روشی برای حل مسئله‌ی بهینه‌سازی درجه دوم زیر است:

$$\min f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{t}}Ax-{{b}^{t}}x$$

در این‌جا، می‌خواهیم این روش را برای یک مسئله‌ی نمونه با استفاده از نرم‌افزار Matlab پیاده‌سازی کنیم.

دستگاه معادلات خطی زیر را در نظر می‌گیریم:

$$\begin{bmatrix}3 & 0&2&0&0 \\0 & 2&0&1&-1\\2&0&2&-1&0\\0&1&-1&3&-1\\0&-1&0&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9\\3\\4\\6\\-1 \end{bmatrix}$$مسئله‎ی بهینه‌سازی نامقید متناظر، پنج متغیره و ضابطه‌ی تابع هدف آن، $f({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}},{{x}_{5}})$ ، بصورت زیر است:$$\frac{3}{2}x_1^2+x_2^2+x_3^2+\frac{3}{2}x_4^2+\frac{1}{2}x_5^2+2x_1x_3+x_2x_4-x_2x_5-x_3x_4-x_4x_5-9x_1-3x_2-4x_3-6x_4+x_5$$جواب دستگاه معادلات خطی بالا، مختصات نقطه‌ی کمینه‌ی این تابع را به دست می‌دهد.

به کمک روش گرادیان مزدوج، با نقطه‌ی شروع $x_0=(0,0,0,0,0)^t$، شرط توقف $\left \| \nabla f\left( {{x}^{k}} \right)\right \|<10^{-1}$ و پارامتر فلچر-ریوز این مسئله را حل می‌کنیم.

clear
clc
A=[3 0 2 0 0;
    0 2 0 1 -1;
    2 0 2 -1 0;
    0 1 -1 3 -1;
    0 -1 0 -1 1]
b=[9;3;4;6;-1]
x0=[0;0;0;0;0]
r0=A*x0-b;
p0=-r0;
k=0;
xk=x0;
rk=r0;
pk=p0;
iteration=0;
while norm(rk)>10^-1
    alphak=(rk'*rk)/(pk'*A*pk);
    xk=xk+alphak*pk
    rk1=rk+alphak*A*pk;
    betak1=(rk1'*rk1)/(rk'*rk);
    pk=-rk1+betak1*pk;
    rk=rk1;
    iteration=iteration+1;
end
disp('iteration='), disp(iteration)

با اجرای این برنامه ملاحظه می‌کنیم که جواب مسئله (دستگاه) عبارتست از $x^*=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^t=(1,2,3,4,5)^t$ و روش گرادیان مزدوج طی 5 گام به این جواب می‌رسد.