ریاضیات به عنوان یک هنر خلاق

این مطلب بخشی از مقاله‌ی زیر است:

Mathematics as a creative art, Amer. Scientist, 56 (1968) 375-389

نوشته‌ی پال هالموس، ترجمه سعید ذاکری

آیا شما هیچ ریاضیدانی را می‌شناسید و اگر می‌شناسید، هیچ می‌دانید که ریاضیدانها وقتشان را چگونه می‌گذرانند؟ اکثر مردم از این امر بی‌اطلاعند. وقتی که در هواپیما سر صحبت را با نفر بغل دستی‌ام باز می‌کنم و او به من می‌گوید که شغل آبرومندی مثل طبابت، وکالت، تجارت، یا ریاست دانشکده دارد وسوسه می‌شوم که بگویم من در کار ساخت و تعمیر سقف و دیوار خانه‌ها هستم. اگر به او بگویم که ریاضیدانم، محتملترین جواب او این است که خود او هرگز نتوانسته حساب و کتاب دفاتر حسابش را تراز کند و خیلی مسخره بود اگر در ریاضیات کاره‌ای می‌شد. اگر بغل دستی‌ام اخترشناس، زیست‌شناس، شیمی‌دان یا دانشمندی از هر نوع دیگر علوم طبیعی یا اجتماعی باشد، که دیگر کلاهم پس معرکه است. چنین آدمی می‌پندارد که می‌داند ریاضیدان کیست، و احتمالا هم اشتباه می‌کند. فکر می‌کند که من وقتم را با تبدیل مرتبه‌های بزرگی، مقایسه ضرایب دوجمله‌ای و توانهای 2، یا حل معادلاتی در باب سرعت واکنش‌ها می‌گذرانم (یا باید بگذرانم)!!

اسنو به وجود دو نوع فرهنگ اشاره و از وجود آنها اظهار تأسف می‌کند؛ او از دست فیزیکدانی عصبانی است که فکر می‌کند ادبیات نوین یعنی آثار دیکنز، و شاعری را سرزنش می‌کند که نمی‌تواند قانون دوم ترمودینامیک را بیان کند. رابطه‌ی ریاضیدانها با آدم‌های تحصیل کرده‌ی دارای حسن نیت اما ناوارد، خیلی بدتر از رابطه‎‌ی فیزیکدانها با شاعرهاست. (اشکالی دارد که همه‌ی غیر ریاضیدانها را ناوارد بنامم؟) این مسئله خیلی مرا می‌آزارد که افراد تحصیل کرده حتی نمی‌دانند که من موضوع کار مشخصی دارم. اینها اسم یک چیزی را ریاضیات گذاشته‌اند، اما نه می‌دانند که ریاضیدانهای حرفه‌ای چطور این واژه را به کار می‌برند و نه می‌توانند تصور کنند که چرا باید کسی به این کار بپردازد. بی‌گمان این امکان هست که فردی که در رشته‌ی خودش آدم مطلعی است، نداند رشته‌های مصرشناسی یا خون‌شناسی هم وجود دارد. اما تنها کافی است به او بگویید که چنین چیزهایی وجود دارد، که در این صورت او به روشی تقریبا کلی، سریعاً در می‌یابد که چرا چنین چیزهایی باید وجود داشته باشند! و با طلبه‌ی این رشته‌ها که علاقمند به آن است مشترکاتی ذهنی هم پیدا خواهد کرد.

آنچه ریاضیدانها انجام می‌دهند.
به عنوان نخستین گام در توضیح این که ریاضیدانها چه کار می‌کنند، بگذارید چند کار را که نمی‌کنند نام ببرم. نخست آنکه سر و کار ریاضیدان با عدد خیلی کم است. شما نمی‌توانید بیش از آنچه از یک نقاش انتظار دارید که یک خط راست بکشد، یا از یک جراح انتظار دارید که شکم بوقلمون را بشکافد، از یک ریاضیدان انتظار داشته باشید که ستونی از ارقام را سریعتر و دقیقتر از آنها جمع بزند. افسانه‌های رایج در میان مردم، این مهارتها را به این حرفه‌ها نسبت می‌دهد، اما این افسانه‌ها نادرستند. به یقین بخشی از ریاضیات به نام نظریه‌ی اعداد وجود دارد، اما حتی آن نیز با اعداد به معنی افسانه‌ایش سر و کار ندارد. یک کارشناس نظریه‌ی اعداد و یک ماشین محاسبه‌ی ویژه‌ی جمع کردن اعداد، چندان با هم دمساز نیستند. ماشین ممکن است از اثبات اینکه $1^3+5^3+3^3=153$  لذت ببرد یا حتی پیشتر برود و کشف کند که تنها پنج عدد صحیح مثبت با خاصیتی که تساوی بالا نشان می‌دهد وجود دارد (1، 153، 370، 371 و 407) اما اکثر ریاضیدانها نمی‌توانند بی‌پروایی کنند؛ بسیاری از آنها برای این قضیه که هر عدد صحیح مثبت مجموع حداکثر چهار مربع کامل است، احترام قائلند و از آن لذت می‌برند حال آنکه بی‌نهایت نهفته در واژه‌ی «هر» می‌تواند هر ماشین معمولی اداری را دچار ترس و بهت‌زدگی کند و در هر صورت این قضیه برای کسی که ریاضیدانها را با اعداد دمساز می‌داند، احتمالا از آن نوع چیزهایی نیست که به فکرش می‌رسد.

برای ریاضیدان نه آن موجودات خیالی داستانهای علمی سال‌های اخیر جالب است و نه حتی مغزهای غول آسا، یعنی ماشین‌های محاسبی که این روزها، زندگی ما را می‌چرخانند. بعضی ریاضیدانها به مسئله‌هایی منطقی علاقمندند که هنگام حل مسئله‌های دشواری از قبیل فهم تکلم کودک کودن به وسیله‌ی ماشین پیش می‌آید: طرح منطقی ماشین‌های محاسب قطعا ریاضیات است. اما این حکم در مورد ساخت آنها صادق نیست، چرا که آن مربوط مهندسی است و محصول این ماشین‌ها، خواه یک لیست حقوق یا دسته‌ای از نامه‌های مرتب شده باشد، خواه یک هواپیمای ما فوق صوت از نظر ریاضی ارزش و اهمیتی ندارد.
ریاضیات، عدد یا ماشین نیست؛ تعیین ارتفاع کوهها به کمک مثلثات یا محاسبه‌ی ربح مرکب به کمک جبر، یا محاسبه‌ی گشتاورهای ماند به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال هم نیست. خیر، دیگر امروز چنین نیست. هر یک از اینها، ممکن است زمانی مهم و یک مسئله‌ی تحقیقاتی غیر بدیهی بوده باشند، اما همین که مسئله حل شد، کاربرد تکراری آن همانقدر به ریاضیات مربوط می‌شود که کار یک اپراتور شرکت مخابرات به نبوغ مارکونی.

دست‌کم دو چیز دیگر هست که ریاضیات نیست. یکی از آنها چیزی است که هرگز ریاضیات نبوده است و دیگری آن است که زمانی جزء ریاضیات بوده و حالا از آن جدا شده است. اوّلی فیزیک است. یک آدم ناوارد، ریاضیات را با فیزیک نظری اشتباه می‌گیرد و مثلا از اینشتین به عنوان یک ریاضیدان بزرگ نام می‌برد. شکی نیست که اینشتین مرد بزرگی بود اما حداکثر همانقدر ریاضیدان بزرگی بود که ویولن‌نواز بزرگی. او برای دریافتن حقایقی در باب عالم از ریاضیات استفاده می‎کرد، و اینکه برای همین منظور از بخش‌های هندسه‌ی دیفرانسیل به طور موفقیت‌آمیزی بهره برد، بازار هندسه‌ی دیفرانسیل را گرم کرده است. از این گذشته، نظریه نسبیت و هندسه‌ی دیفرانسیل یک چیز واحد نیستند. اینشتین، شرودینگر، هایزنبرگ، فرمی، ویگنر و فاینمن همه مردان بزرگی بوده‌اند اما ریاضیدان نبوده‌اند. در واقع بعضی از آنها علیه ریاضیات با افکاری قویا ضد ریاضی تبلیغ می‌کردند و کسر شأن خود می‌دانستند که ریاضیدان نامیده شوند.

آنچه که یک بار ریاضیات بوده، همواره ریاضیات باقی خواهد ماند؛ اما ممکن است چنان هضم شده باشد، چنان فهمیده شده باشد، و در پرتو هزاران سال کوشش و پیگیری آگاهانه چنان بدیهی شده باشد که ریاضیدانها هرگز میل یا نیازی به بررسی دوباره آن نداشته باشند. مسئله‌های مشهور یونانی (تثلیث زاویه، تربیع دایره، تضعیف مکعب) از این قماش‌اند و ریاضیدانها به رغم آماتورهای سرکش و رام نشدنی، دیگر تلاشی برای حل آنها نمی‌کنند. خواهش می‌کنم دقت کنید، منظور این نیست که ریاضیدانها تسلیم شده‌اند. ممکن است شما از قول ریاضیدانها شنیده یا خوانده باشید که تربیع دایره یا تثلیث زاویه ناممکن است و نیز بعید نیست شنیده یا خوانده باشید که به همین دلیل، ریاضیدان موجودی است ترسو و بزدل که به سادگی تسلیم می‌شود و شانه خالی می‌کند و از فتاوی مقتدرانه‌اش برای پوشاندن و توجیه جهل خود بهره می‌گیرد. این نتیجه‌گیری درست است و شما اگر دوست داشته باشید می‌توانید آن را باور کنید. اما اثبات آن ناقص است. نکته‌ی مورد نظرم فوق‌العاده باریک اما مشهور و از نظرگاه تاریخی مورد توجه است. لحظه‌ای بگذارید از موضوع صحبتم منحرف شوم.

گریزی کوتاه:
مسئله‌ی تثلیث زاویه این است: زاویه‌ای مفروض است، زاویه‌ای دیگر بسازید که اندازه‌ی آن درست یک سوم زاویه‌ی اولی باشد. طرح مسئله کاملا ساده است و چندین روش برای حل آن می‌شناسیم. اما نکته در آنجاست که فرمولبندی اولیه‌ی مسئله به وسیله‌ی یونانی‌ها از این دقیق‌تر است. در این فرمولبندی چنان ساختنی مطلوب است که طی آن تنها از خط‌کش و پرگار بهره گرفته شود. حتی این هم شدنی است و من قادرم در عرض یک دقیقه روش کاملا ساده‌ای به شما نشان دهم و در عرض دو دقیقه شما را متقاعد کنم که این روش زاویه‌ی مطلوب را به دست می‌دهد. ولی مشکل اصلی آن است که فرمولبندی دقیق مسئله از این هم دقیق تر است. فرمولبندی دقیق، ترسیمی را می‌طلبد که تنها از خط‌کش و پرگار استفاده کند و به‌علاوه دست ما را در نحوه‌ی به‌کارگیری آنها شدیدأ می‌بندد؛ مثلا علامت زدن دو نقطه روی خط‌کش و استفاده از آن دو در ترسیمات بعدی مجاز نیست. فرمولبندی دقیق و حقیقی آنچه که قوانین یونانی مجاز یا ممنوع می‌شمرد، مستلزم یک قانونمندی دقیق است. تثلیث‌گر تازه از گرد راه رسیده، یا آن قوانین را نمی‌داند، یا آنها را می‌داند و فکر می‌کند که هدف، رسیدن به یک تقریب خوب است. یا قوانین آن را می‌داند و می‌داند که جواب دقیق مطلوب است، اما می‌گذارد که خواسته‌اش بر عمل دقیق بچربد و به راحتی گرفتار خطا می‌شود. طرز فکر چنین شخصی مثل دید یک آدم مریخی نسبت به بازی گلف است. آدم مریخی با دیدن بازی گلف می‌گوید: اگر هم و غم شما این است که آن توپ کوچک سفید در آن سوراخ کوچک سبز بیفتد، چرا خودتان نمی‌روید توپ را بردارید و در سوراخ بیندازید؟

از شما اجازه می‌خواهم که علاوه بر گریز پیشین، گریز دیگری هم بزنم. مایلم توجه شما را به این نکته جلب کنم که وقتی یک ریاضیدان می‌گوید چیزی ناممکن است، منظورش این نیست که آن چیز خیلی دشوار است و فراسوی قدرت او و احتمالا همه‌ی انسانهای چند نسل پیش از اوست. این نوع فکر وقتی مورد نظر است که می‌گوییم ناممکن است بتوان در ارتفاع پنج میلی‌ سطح زمین با سرعت صورت پرواز کرد، یا بتوان لحظه به لحظه با کسی در فاصله‌ی هزار میلی ارتباط برقرار کرد، یا بتوان با انگولک کردن رمزهای ژنتیکی، نژادی از شهروندان به وجود آورد که هم خردمند باشند و هم در صلح و صفا زندگی کنند. اینها چیزهایی است که لاف‌زن حرفه‌ای می‌تواند تحقیرشان کند (چنین لاف‌زنی می‌گوید: اینها که چیزی نیست، تنها کمی بیشتر وقت می‌گیرد). اما ناممکن ریاضی چیز دیگری است. کم قیل و قال‌تر و مطمئن‌تر است. ناممکن ریاضی، ناممکن منطقی است. وقتی ریاضیدان می‌گوید که ناممکن است که بتوان عدد مثبتی یافت که مجموعش با 10 کوچکتر از 10 شود، صرفا به یاد ما می‌آورد که این واژه‌ها (مثبت، مجموع، 10، کوچکتر) چه معنی می‌دهند. وقتی می‌گوید ناممکن است بتوان با خط‌کش و پرگار زاویه‌ای را به سه قسمت مساوی تقسیم کرد، دقیقا چیزی از همین نوع را مد نظر دارد؛ تنها تعداد لغات فنی به کار گرفته شده چندان زیاد و بحث‌هایی که آن‌ها را به هم پیوند می‌دهد چنان مفصل است که مثنوی هفتاد من کاغذ می‌شود.

نقطه شروع ریاضیات
هیچکس نمی‌داند که نطفه‌ی ریاضیات کی و کجا یا اینکه چگونه بسته شد؛ اما ظاهرا منطقی آن است که بپذیریم ریاضیات از همان مشاهدات فیزیکی اولیه (شمردن و اندازه‌گیری) که بینش ریاضی همه‌ی ما با آن آغاز می‌شود، پدیدار شده است. در واقع ممکن است در آغاز کار، بسیاری از ایده‌های ریاضی، و احتمالاً نه همه‌ی آنها، از تفکر محض نشأت نگرفته، بلکه نتیجه‌ی احتیاج بوده باشند. تقریباً همان موقعی که انسان به ضرورت شمارش گوسفندهایش پی برد (یا زودتر؟)، تفکر درباره عددها، شکل‌ها، حرکت‌ها و آرایش‌ها را آغاز کرد. به نظر می‌رسد که کنجکاوی در مورد این چیزها، به اندازه‌ی کنجکاوی در مورد زمین، آب، آتش و هوا و کنجکاوی-کنجکاوی خردمندانه‌ی ناب- درباره‌ی ستارگان و حیات برای روح آدمی ضروری باشد. عددها، شکل‌ها، حرکت‌ها و آرایش‌ها، و نیز اندیشه‌ها و ترتیب آنها، و مفاهیمی چون «خاصیت» و «رابطه»، جملگی خمیرمایه‌ی ریاضیات را شکل می‌دهند. مفهوم تکنیکی اما اساسی «گروه» بهترین راه برای درک مفهوم شهودی «تقارن» از سوی انسان است و کسانی که فضاهای توپولوژیک، مسیرهای ارگودیک و گرافهای جهتدار را بررسی می‌کنند، تصور مبهم و خام ما را در مورد شکل‌ها، حرکت‌ها و آرایش‌ها دقت می‌بخشند.

چرا ریاضیدانها این چیزها را بررسی می‌کنند، و چرا باید این کار را بکنند؟ به بیان دیگر چه چیز موجب انگیزش یک ریاضیدان می‌شود؛ و چرا جامعه وسایل پیشرفت او را دست کم تا حد پرورش و سپس تأمین معاشش فراهم می‌آورد؟ برای اینکه وقت لازم را برای تفکر در اختیار او بگذارد؟ برای هر یک از پرسش‌های بالا دو پاسخ وجود دارد: "چون ریاضیات عملی است و چون ریاضیات یک هنر است." ریاضیات عصر حاضر، هر روز کاربرد بیشتر و بیشتری می‌یابد و رشد سریع کاربردهای مورد نظر، ریاضیات عملی جدید و جدیدتری را ملهم می‌کند. در عین حال با رشد کمی ریاضیات و افزایش سریع افرادی که در حوزه‌ی آن تفکر می‌کنند، مفاهیم جدیدتری احتیاج به تشریح و توضیح پیدا می‌کنند، و مناسبات متقابل منطقی جدیدتری پیدا می‌شود که باید آن‌ها را بررسی، درک و ساده کرد، و در این حال درخت ریاضیات شکوفه‌های پر جلوه‌ی بیشتری می‌دهد که نزد بسیاری از ناظران، ارزش آن‌ها خیلی بیشتر از ریشه‌هایی است که سرچشمه‌ی آن‌ها بوده، یا عللی که سبب به وجود آوردن آن‌ها شده است.