درخت ریاضیات

چند سال پیش متداول شده بود که ریاضیات را به شکل یک درخت، معمولاً یک بلوط بزرگ، نشان بدهند. ریشه‌های این درخت عناوینی از قبیل جبر، هندسه‌ی مسطحه، مثلثات، هندسه تحلیلی، و اعداد گویا داشتند. از این ریشه‌ها تنه‌ی تنومند درخت برمی‌خاست که بر آن حسابان نقش بسته بود. سپس، از بالای تنه، شاخه‌های متعددی منشعب و به شاخه‌های کوچکتری تقسیم می‌شدند. به این شاخه‌ها، عناوین شاخه‌های مختلف ریاضیات عالی نظیر متغیرهای مختلط، متغیرهای حقیقی، حساب تغییرات، احتمالات، و غیره داده شده بود.

منظور از این درخت ریاضیات آن بود که گذشته از ارائه‌ی چگونگی رشد تاریخی ریاضیات به دانشجو، مسیری را هم که دانشجو باید برای ادامه این موضوع طی کند، خاطرنشان سازد. بدین ترتیب، در دبیرستان و شاید در سال اول دانشکده، دانشجو باید وقت خود را صرف مطالعه‌ی موضوع‌های بنیادی بنماید که ریشه‌ی این درخت را تشکیل می‌دهند. سپس، در دوره‌ی دانشکده، وی باید از طریق یک برنامه‌ی سنگین، کاملاً به حسابان تسلط یابد. بعد از انجام این کار، دانشجو می‌تواند آن شاخه‌هایی از ریاضیات را که مایل به ادامه‌ی آنهاست، دنبال نماید.

آن اصل آموزشی‌ای که درخت ریاضیات پشتوانه‌ی آن است احتمالاً اصل صحیحی است، زیرا مبتنی بر قانون مشهوری است که چکیده‌ی آن توسط زیست‌شناسان چنین بیان شده است: «اونتوژنی (Ontogeny) تکرار فیلوژنی (Phylogeny) است»، که به زبان ساده بدین معنی است که در حالت کلی «تکامل فرد بازگوی تکامل گروه است». یعنی، حداقل در چهارچوب کلی، یک دانشجو هر موضوع را تقریباً به همان ترتیبی فرا می‌گیرد که آن موضوع طی سالیان دراز بدان صورت رشد یافته است. به عنوان مثالی خاص، هندسه را در نظر بگیرید. قدیمی‌ترین هندسه را شاید بتوان هندسه‌ی ناخودآگاه نامید که منشأ آن مشاهدات ساده‌ای است که از توانایی انسان در تشخیص شکل ظاهری و مقایسه‌ی اشکال و اندازه‌ها ناشی می‌شد. پس از آن هندسه به هندسه‌ی علمی، یا تجربی بدل شد، و هندسه زمانی به این مرحله رسید که عقل انسانی می‌توانست از مجموعه‌ای از روابط ملموس یک قانون مجرد کلی (یک قانون هندسی) استخراج کند که مورد اول را به عنوان حالات خاصی در بر داشت. قسمت اعظم هندسه مقدم بر دوره‌ی یونانی از این نوع تجربی بود. بعداً، در واقع و در دوره‌ی یونانی، هندسه به درجه‌ی بالاتری ارتقا یافت و به هندسه‌ی برهانی بدل شد. اصل آموزش اساسی که در اینجا مطرح است، در واقع داعیه‌ی آن را دارد که هندسه باید بدواً در شکل ناخودآگاه آن، احتمالا از طریق کارهای هنری و مشاهدات ساده‌ی طبیعت، به کودکان عرضه شود. سپس، کمی بعد از آن، این مبنای ناخودآگاه به هندسه‌ی علمی متکامل گردد، که در آن دانش‌آموزان به مقدار قابل توجهی به حقایق هندسی از طریق انجام تجربه با پرگار و ستاره، با خط کش و نقاله، و با قیچی و خمیر پی می‌برند. تازه بعد از آن، وقتی دانش‌آموز به قدر کافی ورزیدگی یافته باشد، هندسه را می‌توان در شکل برهانی، یا قیاسی آن عرضه کرد، و محاسن و معایب فرآیندهای استقرایی پیشین را خاطرنشان کرد.

پس در اینجا به آن اصل آموزشی که درخت ریاضیات پشتوانه‌ی آن است اعتراضی نداریم. اما درباره‌ی خود درخت چه؟ آیا این درخت هنوز هم تصویر کاملاً معقولی از ریاضیات امروزی را عرضه می‌کند؟ به نظر ما چنین نیست. روشن است که یک درخت ریاضیات تابعی از زمان است. درخت بلوطی که قبلاً توصیف شد مطمئناً نمی‌تواند، مثلاً، درخت ریاضیات دوره‌ی اسکندر کبیر باشد. این درخت بلوط نمودار مناسبی از وضع ریاضیات در قرن هجدهم و بخش زیادی از قرن نوزدهم است، زیرا در آن سالها تلاش‌های عمده‌ی ریاضی بسط، توسیع، و کاربرد حسابان بود. ولی با رشد فوق‌العاده‌ی ریاضیات در قرن بیستم، تصویر کلی ریاضیات که به کمک درخت بلوط داده می‌شود، دیگر مصداق پیدا نمی‌کند. شاید اظهار این مطلب کاملاً درست باشد که امروز بخش عمده‌ی ریاضیات با حسابان و توسیع‌های آن ارتباط نداشته یا ارتباط کمی دارد. مثلاً زمینه‌های گسترده مورد پوشش جبر مجرد، ریاضیات متناهی، نظریه‌ی مجموعه‌ها، ترکیبیات، منطق ریاضی، مبحث اصل موضوعی‌ها، نظریه‌ی غیرتحلیلی اعداد، مباحث اصل موضوعی هندسه، هندسه‌های متناهی و غیره را می‌توان ذکر کرد.

درخت ریاضیات را، برای آنکه ریاضیات امروزی را عرضه نماید، باید از نو رسم کنیم. خوشبختانه درخت ایده‌آلی برای این نمایش جدید موجود است: درخت انجیر هندی. درخت انجیر هندی درختی چندتنه‌ای است که پیوسته تنه‌های جدیدی بر آن می‌روید. بدین ترتیب که از شاخه‌‌ای از آن، الیاف نخ مانندی به طرف پایین گسترده می‌شود تا به زمین برسد. در آنجا این قسمت ریشه می‌گیرد و طی چند سال بعد این رشته ضخیم و ضخیم‌تر می‌شود و با گذشت زمان خود به تنه‌ای با شاخه‌های زیاد مبدل می‌شود، که هر یک الیاف نخ مانند خود را به زمین می‌اندازند.



برخی از درخت‌های انجیر هندی هستند که دهها تنه دارند، و از لحاظ جا به اندازه‌ی یک بلوک شهری را اشغال می‌کنند. این درخت‌ها، مانند درخت بلوط تنومند، زیبا هستند و عمر طولانی دارند؛ چنین ادعا می‌شود که آن درخت انجیر هندی، که بودا در مواقع تفکر به آن تکیه می‌داده، هنوز هم زنده و در حال رویش است. بنابراین درخت انجیر هندی برای درخت ریاضیات امروزی شکل با ارزش و دقیق‌تری دارد. طی سال‌های آینده، تنه‌های جدیدی پدید خواهند آمد، و برخی از تنه‌های پیرتر شاید پژمرده و خشک شوند. دانشجویان مختلف می‌توانند تنه‌های مختلفی از این درخت را برای صعود انتخاب کنند و هر دانشجو ابتدا مبانی‌ای را که ریشه‌های تنه‌ی انتخابی او در بر می‌گیرند، مطالعه می‌کند. البته همه‌ی این تنه‌ها در بالا توسط یک سلسله شاخه‌های در هم‌رفته‌ی درخت با هم ارتباط پیدا می‌کنند. تنه‌ی حسابان هنوز زنده و فعال است، اما مثلاً تنه‌ای هم برای جبرخطی، تنه‌ای برای منطق ریاضی، و تنه‌های دیگری هم وجود دارند.

ریاضیات آن‌چنان گسترش یافته که امروزه ممکن است شخص ریاضیدانی بسیار بارور و خلاق باشد ولی از حسابان و توسیع‌های آن چندان اطلاعی نداشته باشد. ماها که امروزه در دانشگاه‌ها تدریس می‌کنیم با اصرار بر اینکه همه‌ی دانشجویان باید ابتدا از تنه‌ی حسابان درخت ریاضیات بالا روند، به برخی از آن‌ها زیان می‌رسانیم. علی رغم همه جذابیت و زیبایی حسابان، این طور نیست که این درس به مذاق همه‌ی دانشجویان خوش بیاید. با مجبور کردن همه‌ی دانشجویان با بالا رفتن از تنه‌ی حسابان، شاید ریاضیدانان مستعد بالقوه‌ای را از دست بدهیم. کوتاه سخن آنکه، اکنون شاید زمان آن رسیده باشد که فن آموزش ریاضی خود را برای آنکه مناسب درخت ریاضیاتی باشد که توسعه‌ی تاریخی کنونی این موضوع را بهتر منعکس نماید، اصلاح کنیم.

هاورد ویتلی ایوِز- آشنایی با تاریخ ریاضیات