چطور به مهارت حل مسئله دست پیدا کنیم؟

آنچه در ادامه می‌خوانید، تجربه‌ی شخصی اینجانب از دوران تحصیل در رشته‌ی ریاضی و برگزاری کلاس‌های حل تمرین دروس مختلف ریاضی برای رشته‌های ریاضی و دیگر رشته‌های علوم پایه و فنی-مهندسی است.
در ابتدا باید توجه داشته باشیم که دروس ریاضی به دلیل ماهیتی که دارند، نیازمند صرف زمان و توجه کافی و پشتکار زیاد برای یادگیری هستند. «یادگیری» پله‌ی اول در حل مسئله است. اگر شما مطلبی را خوب درک نکرده باشید، نمی‌توانید مسائل مربوط به آن را حل کنید. بنابراین یکی از دلایل اصلی اینکه نمی‌توانیم مسئله‌ای را حل کنیم این است که مطلب مورد نیاز آن را یاد نگرفته‌ایم (یا فراموش کرده‌ایم). پس قبل از هر چیز، باید برگردیم و با دقت و توجه کافی مطالب مورد نیاز را یاد بگیریم. برای این کار، مراجعه به کتب آموزشی معتبر یا جستجو در اینترنت کفایت می‌کند.
حال فرض کنیم مطلبی را هم یاد گرفته‌ایم، اما همچنان در حل مسئله ناتوان هستیم. این موضوع ممکن است به چند علت باشد که من سعی می‌کنم در ادامه به اختصار در مورد آن‌ها صحبت و در آخر هم یک راهکار برای آن پیشنهاد کنم.

-سطح مسائل با توانایی شما همخوانی ندارد.
گاهی مسائلی که برای حل انتخاب می‌کنید، به قدری ساده هستند که گمان می‌کنید به تسلط لازم رسیده‌اید، در حالی که چنین نیست. برعکس، ممکن است مسائلی که می‌خواهید حل کنید از سطح بسیار بالایی برخوردار باشند. در این صورت، وقتی که موفق به حل آن‌ها نشدید احساس ناامیدی می‌کنید. یک مجموعه‌ی خوب از مسائل، مجموعه‌ای است که طیفی از مسائل ساده و دشوار را در خود جای داده باشد. سعی کنید مجموعه‌ای با این ویژگی را برای تمرین حل مسئله انتخاب کنید. مجموعه‌ی مسائل انتخابی شما باید دارای حل تشریحی باشد، تا بتوانید نکات و ظرایف حل مسائل را ببینید.

- وقت کافی برای حل مسئله صرف نمی‌کنید.
حقیقت امر این است که مانند تماشاگری که با دیدن شنای دیگران شناگر نمی‌شود، با دیدن راه حل مسئله نیز نمی‌توان مهارت حل مسئله را فراگرفت. برای حل مسئله باید دست به قلم شوید و راه‌های مختلفی را امتحان کنید. این ممکن است ساعت‌ها از شما زمان بگیرد! این صرف زمان به دو دلیل ارزشش را دارد. اگر خودتان مسئله را حل کنید، آنگاه بسیار مشعوف خواهید شد و اگر به حل آن مراجعه کردید، نکات بیشتری را فرا خواهید گرفت. ضمن اینکه پیدا کردن ایده و امتحان راه‌های مختلف از حل مسئله مهم‌تر است، چون این مرحله است که موجب تقویت فکر و ذهن شما می‌شود.

- از حل مسئله لذت نمی‌برید.
اگر به انجام کاری علاقه نداشته باشید، از انجام آن لذت نمی‌برید. برای علاقه‌مند شدن به حل مسئله، باید شرایط زمانی و مکانی مناسبی فراهم کنید و با در نظر گرفتن استراحت و پذیرایی، آن را به یک فرآیند لذت بخش تبدیل کنید.

اما راهکاری که برای یادگیری مهارت حل مسئله پیشنهاد می‌کنم از این قرار است: فرض می‌کنیم که مجموعه‌ای از مسائل خوب با راه حل تشریحی در اختیار دارید و مطالب مورد نیاز را نیز فرا گرفته‌اید. ابتدا برای حل مسئله تلاش کنید. در این مرحله، اصول حل مسئله‌ی جورج پولیا بسیار مفیدند: بدانید مجهول چیست، داده‌ها یا مفروضات کدامند، پیدا کردن ارتباط بین فرض‌ها و خواسته‌ی مسئله، اجرای طرح و در آخر بازنگری. اما مشکل اصلی دانش‌آموزان و دانشجویان، حداقل در ابتدای مسیر یادگیری حل مسئله، این است که نمی‌دانند از کجا شروع کنند. برای این کار من پیشنهاد می‌کنم به حل مسئله رجوع کنید. اما صبر کنید! قرار نیست حل را به طور کامل نگاه کنید. فقط خط اول حل یا قسمت اول آن را باید ببینید. حالا باید برگردید و با این راهنمایی یا آگاهی مختصری که پیدا کرده‌اید خودتان حل مسئله را ادامه بدهید. اگر توانستید مسئله را در این مرحله حل کنید که چه بهتر، اگر نه خط دوم حل را بخوانید و مجددا با صرف زمان کافی تلاش کنید مسئله را حل کنید. این کار را آنقدر انجام دهید که یا خودتان مسئله را حل کنید یا حل مسئله به اتمام برسد. با اجرای این راهکار پس از مدتی، یک ذهن چابک، ایده پرداز و خلاق خواهید داشت.

یک معمای منطقی

صورت معما:

 یک دختر یکی از سه عدد 1، 2 یا 3 را در ذهن خود انتخاب می‌کند و پس از آن یک پسر فقط و فقط یک سؤال در مورد عدد انتخابی دختر می‌پرسد. دختر فقط می‎تواند به یکی از سه صورت «بله»، «خیر» یا «نمی‌دانم» به سؤال پاسخ دهد و پس از اینکه دختر به سؤال پاسخ داد، پسر می‌گوید که دختر چه عددی را انتخاب کرده است. این سؤال چه می‌تواند باشد؟

 

پاسخ را در ادامه‌ی مطلب ببینید.

نیوتن و حواس‌پرتی‌های او

درباره‌ی حواس‌پرتی نیوتن داستان‌های زیادی وجود دارند. برای او افکار علمی بسیار جذاب بودند. هنگامی که در افکار علمی غرق می‌شد، همه چیز را فراموش می‌کرد. وقتی هم که استاد دانشگاه کمبریج بود، نه دوست و آشنا داشت و نه خویشاوند و نه مسئولیت‌های زیاد و از این موقعیت کمال استفاده را می‌کرد. برخی داستان‌های رایج از این قرارند:

در یک مناسبت، نیوتن به برخی دوستانش شام می‌داد. میز شام را ترک کرد تا از سرداب خانه برایشان چیزی بیاورد تا بنوشند. اما در میانه‌ی راه غرق افکار خود شد، کار و میهمانانش را فراموش کرد، ردایش را به تن کرد و به کلیسا رفت. گاهی لباس‌ها را کامل به تن نکرده، به خیابان می‌رفت و وقتی از سر و وضع خود آگاه می‌شد، شتابان و خجالت‌زده به خانه باز می‌گشت. اغلب هنگامی که در باغ قدم می‌زد ناگهان می‌ایستاد، آنگاه با سرعت به سمت اتاقش می‌دوید و روی اولین کاغذی که دم دستش می‌آمد، ایستاده شروع به نوشتن می‌کرد. هنگامی که قصد داشت در سالن عمومی شام بخورد، غرق افکار خود می‌شد، مسیر را اشتباهی پی می‌گرفت، مدتی راه می‌رفت و پس از این که کاملا شام را فراموش کرده بود به اتاقش برمی‌گشت. یک بار از اسب خود پیاده شده بود تا از تپه‌ای بالا برود. اما هنگامی که به بالای تپه رسید و برای پرداخت عوارض ایستاد، برگشت و دید که فقط افسار اسب را در دست دارد. اسب، بی‌آنکه نیوتن متوجه شده باشد، هنگام بالا رفتن سر خود را از افسار بیرون آورده بود.

Reference: Krantz, Steven G. Mathematical apocrypha redux: more stories and anecdotes of mathematicians and the mathematical. Cambridge University Press, 2005.

دوره‌ی دکتری در ناکجاآباد!

نوشته‌ی حاضر مقاله‌ای است با همین عنوان از دکتر محمد صال مصلحیان، استاد ریاضی دانشگاه فردوسی، که در آن با زبان طنز دوره‌ی دکتری در برخی از دانشگاه‌های ایران را نقد کرده است. این مقاله را سال‌ها پیش خوانده بودم، اما به نظرم ارزش بارها خواندن (و البته توجه) را دارد.

 

سالها پیش مقاله‌ای خوانده بودم تحت عنوان «درسی در بد درس دادن» که در آن نویسنده تلاش نموده بود به معلمان بگوید چه کارهایی نباید در کلاس درس انجام دهند. همان داستان لقمان حکیم که او را گفتند: «ادب از که آموختی؟» گفت: «از بی‌ادبان که هرچه از ایشان در نظرم ناپسند آمد از فعل آن پرهیز کردم». این داستان تخیلی با الهام از همان مقاله، بر اساس تجربه دانشجویان دکتری در دانشگاه‌های مختلف کشورهای گوناگون و به صورت برگ‌هایی از خاطرات روزانه یک دانشجوی دکتری به نام هیچکس ابن هیچکس در دانشگاهی در ناکجاآباد به رشته تحریر در آمده است.

 

آزمون دکتری

امروز هوا بهاری بود. برای مصاحبه‌ی آزمون دکتر‌ی به دانشگاه ناکجاآباد آمده بودم. محیط دانشگاه برایم غریب بود. تنها چیز آشنایی که در اطرافم به چشم می‌خورد، شکوفه‌های درختان و گل‌های رنگارنگی بود که دانشگاه را تزیین و آن را برای گفتگوهای دوستانه‌ی دانشجویان باصفا کرده بود. انگار همه گل‌های دنیا مثل هم هستند و برای همین بود که به نظر غریبه نمی‌آمدند. از همه‌ی داوطلبان خواسته بودند ساعت هشت صبح در دانشکده حضور یابند. عده‌ی زیادی، از دور و نزدیک، آمده بودند. ساعت یک ظهر شده بود و دل تو‌ی دلم نبود. کاش همچون مطب پزشکان وقت قبلی داده بودند. در راهرو و نزدیک اتاقی که مصاحبه در آن انجام می‌شد ایستاده بودم. گاهی چند قدم از اتاق دور می‌شدم ولی با این دلهره که ممکن است مرا برای مصاحبه فرابخوانند بی‌درنگ برمی‌گشتم. هر داوطلبی که از اتاق مصاحبه بیرون می‌آمد، بقیه دور او جمع می‌شدند و می‌پرسیدند که مصاحبه چطور بود. همه کم و بیش می گفتند: «خوب بود. سؤالها هم خوب بود و ...» و بعد آهسته و گیج از دانشکده بیرون می‌رفتند؛ بی آن که فرصتی دست دهد تا برای ما "خوب" را تعریف کنند.
بالأخره انتظار تمام شد و مرا صدا زدند. وارد اتاق شدم. پنج تن از اساتید ممتحن پشت میز رنگ و رو رفته‌ای نشسته بودند و پرونده ام را که شامل ریز نمرات دوران تحصیلات دانشگاهی‌ام، زندگینامه علمی و چند توصیه‌نامه بود ورق می‌زدند. بعضی از آنها نیز مرا برانداز می‌کردند. برای یک لحظه حس کردم کوزه‌ای سفالی متعلق به هزاره‌های پیشینم که در پشت ویترین یک عتیقه فروشی قرار گرفته‌ام و چند باستان‌شناس مرا با ذره‌بین نظاره می‌کنند. از من دو سؤال علمی پرسیدند که نتوانستم جواب دهم. سپس راجع به این که آیا ازدواج کرده‌ام، شغلی دارم، کدام استادان دانشکده را از قبل می‌شناسم، نظر من راجع به دانشگاه آنها چیست، آیا قصد ادامه تحصیل در خارج از ناکجاآباد دارم و ... پرسیدند که البته، مثل دایی جان خدا بیامرزم که آدم خوشبینی بود، با دیدی مثبت به آنها پاسخ دادم. از من پرسیدند که تو دوست داری چه گرایشی بخوانی. مِن و مِنی کردم و گفتم: اول آنچه شما صلاح بدانید و دوم گرایش دوره ارشدم؛ چرا که مطمئناً شما بهتر می‌توانید استعداد مرا شناسایی کنید. ناخودآگاه یاد حکایت بادمجان و ناصرالدین شاه افتادم. سؤال کردند با چه کسی دوست داری کار کنی. گفتم: این افتخاری برای من است که با یکی از اعضای هیئت علمی این دانشگاه کار کنم و برایم مهم نیست این فرد چه کسی باشد. حتماً همه خوبند که دانشگاه به آنها اجازه پذیرش دانشجو داده است. پرسیدند آیا دوست داری جایی در خارج از ناکجاآباد درس بخوانی؟ گفتم: خیر، زیرا یکی از استادان می‌گوید که اینجا از خیلی از دانشگاه‌های ینگه دنیا بهتر است. از طرف دیگر، چرا باید مغزمان را در اختیار خارجی‌ها بگذاریم؟ ... گویا آنها از پاسخ‌های من خیلی خوششان آمده بود، زیرا یکی از دوستانم که از نظر علمی در همه چیز بر من سر بود را انتخاب نکردند و در عوض مرا برگزیدند.

 

ترم اول

بامداد نسیم خنکی می‌وزید. کلاس ساعت هشت صبح شروع شد. من و سه دانشجوی دکتری دیگر در کلاس نشسته بودیم. استاد مثل همیشه بسیار شیک، با لباس‌های اتو زده و کفش‌های واکس زده، سر وقت به کلاس وارد شد و پشت تریبون نشست و شروع به تدریس کرد. مشهور است که مقالات او را دانشجویانش می‌نویسند و خودش نه تنها از محتوای آنها خبر ندارد بلکه نمی‌تواند حتی یک کلمه از عنوان یکی از مقالاتش را بگوید. از همان‌هایی که خودش هیچ کار پژوهشی نمی‌کند، ولی مدام از کارهای تحقیقی دیگران ایراد می‌گیرد. دانشجوها می‌گویند که او دیگر عتیقه شده است، اما نظر من این است که او عتیقه شناس است و دانشجویان نخبه‌ای که مقاله‌های خوب و زیادی می‌نویسند را در تور می‌اندازد!

چند دقیقه‌ای نگذشته بود که دوستم به من نزدیک شد و در گوشم گفت: «من این مطلب را سه بار دیگر از همین استاد شنیده ام. یک بار در سال آخر کارشناسی و دو بار هم در دو درس کارشناسی ارشد» و هر دو با هم پوزخندی زدیم. دوستم گفت: «باید کاری کنم و حالِ او را بگیرم.» هنوز سخنش تمام نشده بود که دستش را بلند کرد و سؤالی جدی از استاد پرسید. استاد از جایش بلند شد، چند قدم جلو رفت، دوباره برگشت، عینکش را با انگشت سبابه به چشمانش چسباند، دستش را در جیب شلوارش فرو برد و رو به من کرد و گفت: «شما چه فکر می‌کنید؟» و آب دهانش را قورت داد. مضطرب شدم و با لکنت گفتم: «نمی‌دانم استاد.» گفت: «ندانستن مهم نیست. این که هیچ تلاشی برای یافتن جواب نکنید بد است. دانشجو باید دائم در حال کار باشد. همه‌ی شما به عنوان پروژه کلاسی تا هفته‌ی دیگر فرصت دارید که جواب آن را تایپ شده به من تحویل دهید.» همین طور که صحبت می‌کرد جدی‌تر می‌شد و به تدریج باورش می‌شد که یک عالِم دهر است. گفت: «نمره‌ای هم برای آن در نظر می‌گیرم. راستی آیا مسائل جلسه‌ی قبل را حل کرده‌اید؟» سخنش تمام نشده بود که هر یک از ما همانطور که دهانمان از تعجب باز مانده بود، حل مسائل خود را به وی تحویل دادیم. اما می‌دانستیم که آنها را تصحیح نکرده و نخوانده در سطل بازیافت کاغذهای اتاقش می‌اندازد. در ادامه با ژستی حق به جانب به پشت تریبون برگشت و جزوه‌گویی خود را دنبال کرد. ما هم شروع به نوشتن کردیم، جزوه‌ای که بوی کهنگی می‌داد چرا که مربوط به چندین سال پیش بود؛ زمانی که خودش به عنوان دانشجو آن را می‌خواند. همه به دوستم چپ چپ نگاه کردیم. از بغل به او تنه‌ای زدم و گفتم: «چه کارش داشتی!» گفت: «نمی‌دانم به این آدم بی‌سواد چه طوری مدرک دکتری (و بدتر از آن دانشجوی دکتری) داده‌اند. مطمئنم که دکترایش قلابی است!» نمی‌دانم چرا به یاد دایی جان خدابیامرزم افتادم. اصلاً این درس خواندن در دوره دکتری باعث شده بود که من مدام از آن خدابیامرز یاد کنم. دوست نداشتم فکر کنم که استادم بی‌سواد است. دوست داشتم به همه چیز با دید مثبت نگاه کنم. به قول قدیمی‌ها بچه‌ی حلال‌زاده به داییش می‌رود. حالا دیگر به ضرب‌المثل‌ها هم شک کرده بودم!

جورج پولیا

یکی از افرادی که در زمینه‌ی حل مسئله و چگونگی آموزش آن تحقیقات فراوانی انجام داد، جورج پولیا ریاضیدان معروف مجارستانی است. وی علاوه بر اینکه یک آنالیزدان بزرگ است، یکی از صاحب‌نظران در حوزه‌ی آموزش ریاضی به شمار می‌رود. از دیدگاه پولیا حل هر مسئله دارای چهار مرحله‌ی اساسی است:

1. فهمیدن و درک مسئله
2. تهیه یک طرح برای حل مسئله
3. اجرای طرح
4. بازنگری

پولیا در زمینه‌های مختلفی از ریاضیات مانند سریها، نظریه اعداد، آنالیز ریاضی، هندسه، جبر، ترکیبیات و احتمال فعالیت می‌کرد. او چند کتاب معروف دارد. ابتدا با گابور زگو یک کتاب در باب قضایا و مسائل آنالیز ریاضی نوشت. این کتاب، یک کتاب با مسائل دشوار و تحلیلهای دقیق در آنالیز ریاضی است. پس از آن، پولیا تلاش زیادی به منظور شناسایی روشهای سیستماتیک حل مسئله برای کشف و ابداع بیشتر در ریاضیات انجام داد و نتیجه‌ی این تلاش‌ها به تألیف کتاب‌های زیر منجر شد:

1.چگونه مسئله را حل کنیم؟
2. خلاقیت ریاضی
3. ریاضیات و استدلال منطقی

کتاب چگونه مسئله حل کنیم او تاکنون به چندین زبان ترجمه شده و بیش از یک میلیون نسخه فروخته است. در ایران، این کتاب توسط احمد آرام و کتاب خلاقیت ریاضی او توسط پرویز شهریاری ترجمه شده‌اند.

به افتخار جورج پولیا سه جایزه به نام او وجود دارد؛
1. جایزه‌ی انجمن ریاضیات کاربردی و صنعتی (SIAM) به کارهای قابل توجه در زمینه ترکیبیات یا یک زمینه‌ی مورد علاقه‌ی دیگر جورج پولیا. این جایزه در سال 1969 در نظر گرفته شد.
2. جایزه‌ی انجمن ریاضی آمریکا برای مقالات برگزیده در آموزش ریاضی که این جایزه در سال 1976 وضع شد.
3. جایزه‌ی انجمن ریاضی لندن برای خلاقیتهای قابل توجه در ریاضی یا سهم بسزا داشتن در پیشرفت ریاضیات انگلستان. این جایزه در سال 1987 وضع شد.

فرانک هرری (Frank Harary) ریاضیدان آمریکایی که از او به عنوان یکی از پدران نظریه گراف مدرن یاد می‌شود درباره پولیا چنین می‌گوید:

«بدون تردید، جورج پولیا قهرمان شخصی من به عنوان یک ریاضیدان است. او نه تنها یک نجیب‌زاده‌ی برجسته است، بلکه خود یک مرد مهربان و نجیب است؛ شور و شوق غم‌انگیزش، چشمک زدن چشمهایش، کنجکاوی فوق‌العاده‌اش، سخاوت او، پیاده‌روی پر انرژی او، دوستی واقعا گرم او، استقبال از بازدیدکنندگان خانه‌اش و نشان دادن تصاویرش از ریاضیدانان بزرگ، اینها همه اجزای شخصیت شاد اوست. به عنوان یک ریاضیدان، عمق، سرعت، درخشش، تطبیق‌پذیری، قدرت و جهانی بودن او همه الهام‌بخش هستند. آیا راهی هم برای آموزش و یادگیری این صفات وجود دارد؟»

پولیا در سپتامبر 1985 در سن 97 سالگی در شهر پالو آلتوی کالیفرنیا درگذشت.

George Pólya

متاع جوانی

به صحرا سرود این چنین خارکن		که از کندن خار، کس خوار نیست
جوانی و تدبیر و نیروت هست		بدست تو، این کارها کار نیست
به بیداری و هوشیاری گرای		چو دیدی که بخت تو بیدار نیست
چو بفروختی، از که خواهی خرید؟!		متاع جوانی به بازار نیست!
جوانی، گه کار و شایستگی است		گه خودپسندی و پندار نیست
نبایست بر خیره از پا فتاد		چو جان خسته و جسم بیمار نیست
همین بس که از پا نیفتاده‌ای		بس افتادگان را پرستار نیست
مپیچ از ره راست، بر راه کج		چو در هست، حاجت به دیوار نیست
ز بازوی خود، خواه برگ و نوا		تو را برگ و توشی در انبار نیست
همی دانه و خوشه خروار شد		ز آغاز، هر خوشه خروار نیست
قوی پنجه‌ای، تیشه محکم بزن		هنرمند مردم، سبکسار نیست
زر وقت، باید به کار آزمود		کزین بهترش، هیچ معیار نیست
غنیمت شمر، جز حقیقت مجوی		که باری است فرصت، دگر بار نیست!
همی ناله کردی، ولی بی ثمر		کس این ناله‌ها را خریدار نیست!
چو شب، هستی و صبحدم نیستی است		شکایت ز هستی، سزاوار نیست
کنند از تو در کار دل، باز پرس		درین خانه، کس جز تو معمار نیست
نشد جامه‌ی عُجب، جان را قبا		درین جامه، پود ار بود، تار نیست
درین دکه، سود و زیان با همند		کس از هر زیانی، زیانکار نیست
گهی کم بدست اوفتد، گه فزون		بساز، ار درم هست و دینار نیست
مگوی از گرفتاری خویشتن		ببین کیست آن کو گرفتار نیست
به چشم بصیرت به خود در نگر		تو را تا در آئینه، زنگار نیست
همه کار ایام، درس است و پند		دریغا که شاگرد هشیار نیست
تو را بار تقدیر باید کشید		کسی را رهایی از این بار نیست
به دشواری ار دل شکیبا کنی		ببینی که سهل است و دشوار نیست
از امروز اندوه فردا مخور		نهان است فردا، پدیدار نیست
گر آلود انگشت‌هایت به خون		شگفتی ز ایام خونخوار نیست
چو خارند گلهای هستی تمام		گل است اینکه داری به کف، خار نیست
ز آزادگان، بردباری و سعی		بیاموز، آموختن عار نیست
هزاران ورق کرده گیتی سیاه		شکایت همین چند طومار نیست
تو خاطر نگهدار شو خویش را		که ایام، خاطر نگهدار نیست
ره زندگان است، عیبش مکن		گر این راه، همواره هموار نیست
پی کارهایی که گوید برو		تو را با فلک، دست پیکار نیست
به جایی که بار است بر پشت مور		برای تو، این بار، بسیار نیست
نشاید که بیکار مانیم ما		چو یک قطره و ذره بیکار نیست
	پروین اعتصامی

انگیزه‌های مادی در مقاله‌نویسی

نوشته‌ی حاضر برگرفته از مقاله‌ای تحت عنوان «مقاله‌نویسی و چالش‌های آن» به قلم استاد فریبرز آذرپناه است که در شماره‌ی 145 خبرنامه‌ی انجمن ریاضی ایران به چاپ رسیده است.

تب تند مقاله‌نویسی در کشور و تشویق و تأیید آن توسط مسئولان، به‌ویژه در یک دهه‌ی گذشته، انگیزه‌های مادی ویرانگری در دانشگاه‌ها به وجود آورده است. افزون بر اهمیت مقاله در ارتقاء اعضای هیئت علمی، نقش آنها در پژوهانه (اعتبار پژوهشی) نیز تعیین کننده است. برخلاف بخش ارتقاء که مقاله از چندین کانال ارزیابی گذر می‌کند، برای پژوهانه، در اکثر دانشگاه‌ها، صرفاً یک بررسی اداری صورت می‌گیرد. در بررسی و احتساب مقالات برای پرداخت پژوهانه، کیفیت مقاله در بیشتر مؤسسات علمی تقریباً نادیده گرفته می‌شود، زیرا پژوهانه که به خاطر مراتب اداری زیر نظر معاونان پژوهشی دانشکده ها و دانشگاه است، به واسطه‌ی حجم زیاد کار، اغلب توسط کارمندان آن‌ها انجام می‌شود. با نادیده گرفتن کیفیت در این بخش، طبیعی است که انگیزه‌های مادی و اقتصادی به رشد تولید مقاله‌های بی‌ارزش دامن می‌زند و این نابسامانی زمانی بیشتر به چشم می‌خورد که جایگاه‌های پژوهشی را مسئولان غیر آکادمیک به عهده بگیرند. اگر نگاه به مقاله نگاه مادی باشد، قطعاً بی‌اخلاقی علمی همچون نسخه‌برداری و سرقت علمی نیز رخ می‌دهد و زمانی که با عطوفت نابجا اینگونه بی‌اخلاقی ها را نادیده بگیریم و گذشت کنیم، این دست ناهنجاری‌ها در دانشگاه شدت خواهد گرفت.

انگیزه‌های مادی و تولید مقاله به منظورهای متفاوت، ما را به سوی پذیرش انبوه دانشجوی تحصیلات تکمیلی نیز سوق می‌دهد. در اینجا نیز راه هموار است؛ باز هم در اغلب دانشگاه ها توانایی علمی مدنظر نیست، هرکس می‌تواند دانشجوی کارشناسی ارشد داشته باشد و اگر سه سال در این مقطع تجربه تدریس داشته باشد، می تواند دانشجوی دکتری نیز بپذیرد. حال آنکه کارنامه پژوهشی و آموزشی وی ابداً اهمیت ندارد و در نظر گرفته نمی‌شود. توانایی استاد در شیوه راهنمایی دانشجو، قدرت نوآوری استاد در مطالب علمی، توانایی مطرح کردن ایده‌های تحقیق و صلاحیت استاد در آموزش شگردهای پژوهش اساساً مطرح نیستند، پنداری قرار است که دانشجو از ابتدا پژوهشگری مستقل باشد و برای استاد کار پژوهشی انجام دهد. مقررات موجود در پذیرش دانشجوی تحصیلات تکمیلی و در پی داشتن مزایایی همچون حق‌التدریس، اکثر ما را وسوسه می‌کند تا در این راه بی‌پروا قدم بگذاریم و به عواقب آن نیندیشیم. این مسئله باعث می‌شود که حجم فراوانی از دانشجویان کارشناسی ارشد و دکتری که اکثراً از نظر علمی ضعیف‌اند به دانشگاه‌ها راه یابند و از آن‌جا که تعداد زیادی از آنها، پیشتر کارمند یک موسسه، دبیر مدارس و یا عضو هیئت علمی یک دانشگاه بوده، به سبب ثبات شغلی خود، فرصت های شغلی را به ناحق از دانشجویان مستعد سلب می‌کنند تا بار دیگر عواقب آن گریبان دانشگاههای ما را بگیرد و آثار نامطلوبی در کیفیت آموزش و پژوهش دانشگاه ها بر جای گذارد. از سوی دیگر، آز اقتصادی عده‌ای از اعضای هیئت علمی در جهت کسب درآمد بیشتر، باعث می‌شود تا از استخدام نسل جوان در دانشگاه‌ها پیشگیری شود و به این ترتیب ضربه ای دیگر بر پیکر نیمه جان آموزش و پژوهش وارد آید. برای پی بردن به ناهنجاری‌ها در پذیرش دانشجوی دکتری، کافی است با یک حساب سرانگشتی تعداد دانشجویان دکتری ریاضی در حال تحصیل در دانشگاه ها را برآورد کنیم. در حال حاضر آنها بیش از دو برابر اعضای هیأت علمی تمام وقت رشته ریاضی هستند. اگر به این همه دانشجوی دکتری در کشور نیاز داریم، چرا آنها را در دانشگاه‌ها استخدام نمی‌کنیم و اگر نیازی به این تعداد هیئت علمی نداریم، این دانشجویان را به چه منظور می‌پذیریم؟

قوانین آموزشی، موظف تدریس رئیس دانشکده را 5 واحد و موظف تدریس را برای یک رئیس دانشگاه دو ساعت تعیین کرده تا زمان کافی در اختیار داشته باشند که به کارهای دیگری که به آنها محول شده بپردازند. ولی اکنون بعضی از مسئولان حتی رئیس یک دانشگاه، ممکن است تا بیش از 25 ساعت درس در ترم، افزون بر موظف خود با احتساب پایان‌نامه‌ها، به عنوان حق‌التدریس داشته باشد. وقتی استاد بیش از توان خود درس می‌دهد و دانشجوی دکتری می‌پذیرد، قطعاً هیچ‌کدام از وظایف خود را نمی‌تواند به خوبی انجام دهد. در اینجاست که دانشجو غیرمستقیم و یا مستقیم تهدید می‌شود که حتماً به فکر تهیه مقاله باشد. این‌ها همه تخلف‌اند، چه از سوی دانشجو  باشد و چه از جانب استاد. حال اگر استاد مربوطه، مسئول هم باشد تخلف دوچندان می‌شود. آنچه در این میان آسیب می‌بیند و گاهی ویران می‌گردد اصول ساختاری، اخلاقی و علمی بنیاد دانشگاه است و اگر به همین منوال پیش برویم، در آینده سنگ روی سنگ دانش و دانشگاه بند نمی‌شود. از زمانی که به تشویق مقاله‌نویسی و ولع امتیازآوری با توسل به مقالات و ترغیب و تحریض برای نوشتن مقالات ظاهراً پژوهشی رو آوردیم، آفت حق‌التدریس سال به سال شیوع بیشتری پیدا کرده و به بی‌اخلاقی در جوامع دانشگاهی دامن زده است. دانشگاه جایگاه اندیشه و دانش است، ادب و هنر است، اخلاق و فضیلت است و مهم‌تر از همه الگویی برای کلیت جامعه است. اگر این جایگاه را برای دانشگاه متصور باشیم و در عین حال بی‌اخلاقی ها و تخلف‌ها را در دانشگاه‌ها ببینیم و همچنین اگر به عمق ناهنجاری‌ها در دانشگاه‌ها آگاهیم، این پرسش مطرح می‌شود که چرا دم برنمی‌آوریم و مانع این تخلف‌ها، بی‌اخلاقی‌ها و سودجویی‌ها نمی‌شویم؟ واقعیت امر این است که ما همه کم‌ و بیش آلوده‌ی این جریان شده‌ایم و در این باره انتقادپذیر هم نیستیم؛ تا آنجا که بارها دیده شده هرگاه سخن از این دست انتقادها به میان آورده شده است، برآشفته‌ایم و به گوینده‌ی این دست سخن‌ها که منافع مادی و جاه و مقام ما را به خطر انداخته است، پرخاش کرده‌ایم. به نظر می‌رسد واقعاً وقت آن رسیده است که باید دست از خودفریبی برداریم و به فکر کارهای زیربنایی و اساسی در نظام آموزشی و پژوهشی کشورمان باشیم. این کار البته سیاست برنامه‌ریزان، همت مسئولان و همیاری و همراهی ما و آنان را می‌طلبد.

ریاضی دیروز و ریاضی امروز

دنیای ریاضی برای خود دنیای جدایی است که قوانین حاکم بر آن بر اساس منطق و استدلال بیان شده است. گام نهادن در این وادی و پیشرفت در آن به طور جدی و حقیقی میسر نمی‌شود مگر آنکه تابع این قوانین بود. روزگاری فقط عاشقان ریاضی در این وادی قدم می‌گذاشتند و کسانی که دغدغه‌اش را داشتند به سراغش می‌رفتند و ایام خویش را با این علم زیبا، چه در معنای محض چه در مفهوم کاربردی به کام دل سپری می‌کردند. اما حکایت زمان کنونی ما چیز دیگری است و حتی افراد وامانده از وادی‌های دیگر نیز به سراغ ریاضی می‌آیند و اینجا را جولانگاه کار و درآمد و ارتقا و به قول فرنگی‌ها بیزنس کرده‌اند و شاید بی‌ارزش ترین چیز در دنیایشان همین ریاضی باشد. بگذارید اندک درد دلی با این عزیزان داشته باشیم و در یک سطر بگوییم:

«اگر برای ریاضیات اینجا نیامدید برای ریاضیات اینجا بمانید.»

بگذارید دنیای ریاضی مثل همیشه خالص، زیبا و پاک بماند. اینجا برای کسانی هنوز همان مدینه فاضله است.

خبرنامه‌ی انجمن ریاضی ایران، شماره‌ی پیاپی 131 و 132

نیکلای بورباکی

"Nicolas Bourbaki'', Scientific American, vol. 196, pp. 88-89, 1957.
نوشته‌ی پال هالموس، ترجمه‌ی سعید ذاکری

نامش یونانی، ملیتش فرانسوی و سرگذشتش عجیب و غریب است. او یکی از بانفوذترین ریاضیدان‌های قرن بیستم به شمار می‌آید. افسانه‌های بی‌شماری راجع به او بر سر زبان‌هاست و تعداد آنها هر روز نیز بیشتر می‌شود. تقریباً هر ریاضیدانی چند داستان درباره‌ی او می‌داند و ظاهراً بدش نمی‌آید که چند ماجرای دیگر هم درباره‌ی او بشنود. در سراسر دنیا نوشته‌های او را می‌خوانند و به گونه‌ی وسیعی به آن استناد می‌کنند. جوانانی در ریودوژانیرو هستند که تمامی آموزش خود را از آثار او بر گرفته‌اند و ریاضیدان‌های مشهوری در برکلی و گوتینگن یافت می‌شوند که تأثیر کارهای او را بر ریاضیات زیان‌آور می‌دانند. هر جا که جماعتی از ریاضیدان‌ها گرد هم می‌آیند، او هواخواهانی احساساتی و مخالفانی پرهیاهو دارد. با همه‌ی این حرف‌ها، عجیب‌ترین واقعیت درباره‌ی او این است که وی وجود خارجی ندارد!

این مرد فرانسوی که نامش یونانی است و به واقع وجود ندارد، کسی نیست جز نیکلای بورباکی (بر وزن توربافی). حقیقت امر آن است که نیکلای بورباکی نام دسته جمعی مستعاری است که مجمعی غیررسمی از ریاضیدانها آن را برگزیده‌اند. (عبارت فریبنده‌ای که در زبان فرانسوی به عنوان معادل مجمع به کار می‌رود، یعنی "انجمن بی نام و نشان" در اینجا کاملاً مصداق پیدا می‌کند.) این گروه با نام مستعار، سرگرم نوشتن رساله‌ای جامع در باب ریاضیات است، که از کلی‌ترین اصول پایه آغاز، و از قرار معلوم به تخصصی‌ترین شاخه‌های کاربردی ختم می‌شود. این برنامه‌ی عظیم در 1939 به جریان افتاد، و تاکنون بیش از 20 جلد (در حدود 3000 صفحه) از این اثر فناناپذیر منتشر شده است.

اینکه چرا این افراد نامی بورباکی را برخود نهادند، در هاله‌ای از رمز و راز پوشیده است. بنا به دلایلی، بعضی‌ها فکر می‌کنند که این انتخاب از نام یکی از افسران کمابیش سرشناس ارتش در جنگ بین فرانسه و آلمان الهام گرفته شده است.

این شخص، یعنی ژنرال شارل دنی ساته بورباکی، شخصیتی کاملاً چندگونه داشت. در 1862 یعنی در 46 سالگی فرصت یافت که پادشاه یونان شود، اما این پیشنهاد را رد کرد. اینکه نام او هنوز به خاطره‌ها مانده است، عمدتاً به دلیل ناملایماتی است که از جنگ نصیبش شده بود. او در 1871، پس از اینکه به همراه اندک باقیمانده‌ی سربازانش از فرانسه گریخت، به سوئیس رفت و در آنجا بود که تصمیم به خودکشی گرفت. ولی ظاهراً باید تیرش به خطا رفته باشد، زیرا می‌گویند که تا 83 سالگی در قید حیات بود. نقل می‌کنند که مجسمه‌ای از او در شهر نانسی برپاست. همین موضوع می تواند حاکی از رابطه‌ای باشد میان او و ریاضیدان‌هایی که نام او را به عاریت گرفتند. چرا که چندین نفر از آنها، در زمان‌های مختلف، وابسته به دانشگاه نانسی بوده‌اند.

یکی از افسانه‌ها درباره‌ی نام بورباکی آن است که در حدود سالهای 1927 تا 1932 برای دانشجویان سال اول اکول نرمال سوپریور (که اغلب ریاضیدان‌های فرانسوی پرورش یافته‌ی آنجا هستند) سالی یکبار سخنرانی برگزار می‌شد که سخنران آن مهمان سرشناسی به نام نیکلای بورباکی بود؛ این مهمان در واقع کسی نبود جز بازیگری آماتور که به هیئت یک ریش سفید عظیم الشأن تغییر قیافه می‌داد و سخنرانی او یک نوع دو پهلو سخن گفتن استادانه در باب ریاضیات بود.

طرح زیر نیکلای بورباکی را به گونه طنزآلودی در قالب این گروه پر جنب و جوش از ریاضیدان‌های فرانسوی نشان می‌دهد. به نظر می‌رسد که بورباکی در هر مقطع زمانی بین 10 تا 20 عضو داشته باشد. هر نوع شباهت میان اعضای اصلی و افراد زیر کاملاً غیر عمدی و تصادفی است.

شمارش‌پذیری مجموعه‌ها

Stephen L. Campbell, Countability of sets, Amer. Math. Monthly, 93 (June-July 1986), no. 6,480 – 481

ترجمه‌ی دکتر اکبری مجدآباد نو

در دروس مقدماتی، معمولاً شمارش‌پذیری اعداد گویا به کمک استدلال‌های مبتنی بر قطری‌سازی ثابت می‌شود. ولی روش دیگری نیز وجود دارد که شاید از نظر شهودی مناسب‌تر باشد. این ایده از من نیست؛ من نیز آن را 15 سال پیش شنیده‌ام. اما پس از آن هرگز به شخص دیگری که آن را شنیده باشد برخورد نکرده‌ام.

گوییم عدد اصلی دو مجموعه با هم برابر است هرگاه بتوان یک تناظر یک به یک بین آنها برقرار کرد. یک مجموعه شماراست هرگاه عدد اصلی آن با عدد اصلی مجموعه‌ی اعداد طبیعی برابر باشد.

قضیه: مجموعه‌ی اعداد گویا شمارش‌پذیر است.

اثبات: واضح است که اعداد صحیح را می‌توان به اعداد گویا نگاشت. حال توجه کنید که با استفاده از مبنای 11 هر عدد گویای $a/b$ را می‌توان به یک عدد صحیح نظیر کرد که در آن نماد $/$ به جای عدد 10 به کار می‌رود. برای مثال داریم: $$2/3=2(11^2)+10(11^1)+3(11^0)=355$$بدیهی است که با به کارگیری مبناهایی بزرگتر، به آسانی می‌توان شمارش‌پذیری بسیاری از مجموعه‌های دیگر را نشان داد. برای مثال، مجموعه‌ی چندجمله‌ای‌های روی اعداد گویا را می‌توان با استفاده از مبنای 16 با نمادهای $$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,/,+,-,\%,\&,x\}$$ به اعداد صحیح نگاشت که در آن $\%$ اندیس آغازی، $\&$ اندیس پایانی و $x$ متغیر مستقل است.