آنالیز عددی، گذشته، حال و آینده

مطلبی که در این پست تقدیم خوانندگان عزیز می‌گردد، مقاله‌ای است با همین عنوان از دکتر اسماعیل بابلیان که در هفدهمین سمینار‌ آنالیز ریاضی و کاربردهای آن در دانشگاه اراک ارائه شده است.

1. مقدمه

در این نوشتار ضمن تعریف آنالیز عددی، موضوع‌های مورد بحث را در آن شرح می‌دهیم و ارتباط آن را با موضوع‌هایی چون آنالیز ریاضی، جبر خطی، جبر کامپیوتری، هندسه و علوم کامپیوتر بیان می‌کنیم. در این راستا تاریخچه کوتاهی از پیدایش هر موضوع، وضعیت آن در حال و تحقیقات مورد نیاز در آینده نیز بیان می‌شود.

2. آنالیز عددی چیست؟

• آنالیز عددی علم و هنر محاسبه است.

از حدود 140 سال قبل از میلاد تا اوایل قرن هفدهم دانشمندان فیزیک و ریاضی با محاسبات فراوان و متنوع روبرو بودند و افراد شاخص نظیر غیاث‌الدین جمشید کاشانی جان نپر، بریگز، کپلر و توماس هاریوت در این زمینه زحمات زیادی متحمل شدند [1].

• آنالیز عددی ریاضیات محاسبات علمی است.

با گسترش کاربردهای ریاضی لزوم انجام محاسبات علمی بیش از پیش مورد توجه قرار گرفت. آنالیز عددی شامل مطالعه، توسعه، طراحی، تجزیه و تحلیل الگوریتم ها برای به دست آوردن جواب های عددی مسائل مختلف ریاضی است. با پیدایش کامپیوتر و گسترش زبان‌های برنامه‌نویسی، طراحی و تدوین الگوریتم برای حل مسائل متداول شد. در آنالیز عددی معمولاً فرض می‌شود که مسئله مورد بررسی جواب دارد. اثبات وجود جواب قاعدتاً از وظایف متخصصین آنالیز عددی نیست مگر اینکه با مسئله تازه‌ای مواجه باشند که قبلاً وجود جواب آن توسط متخصصین آنالیز، جبر، هندسه یا ... ثابت نشده باشد. بنابراین وظیفه اصلی در آنالیز عددی طراحی الگوریتم برای بدست آوردن چیزی است که وجود آن محرز است. اما در اثبات وجود جواب برای یک مسئله دو روش کاملا متمایز وجود دارد، روش ساختنی و روش غیرساختنی. لذا علاوه بر وجود جواب باید یک روش ساختنی هم وجود داشته باشد یا طراحی کنیم، سپس به تدوین یک الگوریتم با جزئیات کامل بپردازیم.

3. الگوریتم

پس از انجام بررسی‌های ریاضی لازم، یافته‌ها به صورت یک الگوریتم ارائه می‌شوند. الگوریتم طراحی شده باید دارای ویژگی‌های زیر باشد:

• پارامترها و داده‌های آن کاملاً مشخص باشد؛
• مراحل آن کاملاً مشخص و قابل اجرا باشد؛
• رعایت صرفه‌جویی در اشغال حافظه کامپیوتر و زمان CPU شده باشد؛
• پایان‌پذیر باشد.

اما آنچه در مورد یک الگوریتم حائز اهمیت است تجزیه و تحلیل یا آنالیز الگوریتم می‌باشد و واژه آنالیز در نام آنالیز عددی به معنی آنالیز ریاضی نیست بلکه به معنی تجزیه و تحلیل الگوریتم‌هایی است که برای بدست آوردن جواب‌های عددی مسائلی ساخته می‌شود که اثبات وجود آنها عمدتاً توسط قضایا و احکام آنالیز ریاضی انجام می‌شود. البته حدود نیمی از مباحث آنالیز عددی به جبر خطی مربوط می‌شود که اثبات وجود جواب برای مسائل این حیطه توسط قضیه‌ها و احکام جبر خطی صورت می‌گیرد.

منظور از تجزیه و تحلیل یک الگوریتم چیست؟

تقریباً تمامی الگوریتم‌های آنالیز عددی تقریبی از جواب مورد نظر را به دست می‌دهند. لذا در تجزیه و تحلیل یک الگوریتم به موارد زیر پرداخته می‌شود:

• در اجرای این الگوریتم چه حجمی از حافظه کامپیوتر اشغال می‌شود؟
• برای رسیدن به یک تقریب مطلوب چند عمل ضرب (تقسیم) و چند عمل جمع (تفریق) انجام می‌شود؟
• اگر عملیات را دقیق انجام دهیم به جواب دقیق می‌رسیم؟
• آیا کران بالایی برای خطای هر تقریب که به دست می‌آوریم وجود دارد؟
• آیا قبل از شروع اجرای الگوریتم می‌توان پیش‌بینی کرد که چه تعداد عملیات ریاضی برای رسیدن به یک تقریب مطلوب لازم است؟ به عبارت دیگر یک کران بالای پیشین برای خطای هر تقریب وجود دارد؟
• الگوریتم مورد بررسی از نظر عددی پایدار (ناپایدار) است؟

4. تنوع مسائل در آنالیز عددی

کلیه مسائلی را که در آنالیز عددی مورد بررسی قرار می‌گیرند می‌توان با معادله$$Au=w\quad (1)$$نمایش داد که در آن $A$ یک عملگر است و $u$ و $w$ عضو مجموعه‌های $U$ و $W$، مرتبط با موضوع بررسی هستند. در بررسی مسئله (1) سه حالت متفاوت، ولی در ارتباط با یکدیگر وجود دارد.

الف. $A$ و $u$ معلوم هستند و $w$ باید تعیین شود. در واقع باید حاصل اعمال عملگر روی هر عضو از $U$ به دست آید.

نمونه‌هایی از این مسئله عبارتند از:

(i) محاسبه انتگرال نامعین (مشتق) یک تابع. ممکن است $A$ ترکیبی از عملگرهای مشتق و انتگرال باشد.

در این حالت، $U$ و $W$ مجموعه توابع هستند و وجود $w$ به ازای هر تابع $u$ توسط قضایای آنالیز اثبات می‌شود.

(ii) $A$ یک تبدیل خطی و $u$ عضو یک فضای برداری است و باید اثر $A$ روی $u$ تعیین شود. (مثلاً ضرب یک ماتریس $m\times n$ در یک بردار $u$)

(iii) $A$ عملگر انتگرال معین و $U$ مجموعه توابع است. (مثلاً محاسبه‌ی $\int_{a}^{b} f(x) dx$ موردنظر است.)
در این حالت $W$ مجموعه‌ای از اعداد است و وجود $w$ به ازای هر تابع $u$ توسط قضیه‌های آنالیز ثابت می‌شود.

برای پیدا کردن جواب مسائل قسمت‌های (i) و (ii) در حالت کلی، به یک نرم‌افزار مناسب نیاز است. نرم‌افزارهایی نظیر متلب، متمتیکا، درایو و میپل به خوبی این کار را انجام می‌دهند.

در مورد مسائل قسمت (iii) تاریخچه تعیین تقریبی از انتگرال معین یک تابع به قرن هفدهم برمی‌گردد.

با پیدایش کامپیوتر و پیشرفت آنالیز ریاضی روش‌های انتگرالگیری عددی زیادی به دست آمدند که در اکثر نرم‌افزارهای فوق‌الذکر نیز موجودند و می‌توان از آنها استفاده کرد. در بدست آوردن فرمول‌های انتگرالگیری عددی از توابع متعامد و جبر خطی استفاده می‌شود و محاسبه خطای این فرمولها بدون استفاده از قضایای آنالیز ریاضی امکان پذیر نیست.

ب. $A$ و $w$ معلوم و $u$ مجهول است.

این حالت شامل دسته ی بسیار وسیعی از مسائل کاربردی است که در حل آنها از طیف وسیعی از مباحث مختلف ریاضیات استفاده می‌شود. نمونه‌هایی از این مسائل عبارتند از:

(I) معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، معادلات انتگرال.
برای حل این مسائل مراحل زیر طی می‌شود:

• اثبات وجود جواب به کمک آنالیز ریاضی، جبر خطی، هندسه، توپولوژی.
• برای دسته ای از این مسائل می‌توان جواب تحلیلی بدست آورد. به ویژه توسط نرم‌افزار REDUCE می‌توان حتی جواب تحلیلی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را هم بدست آورد.
• اما جواب‌های تحلیلی غالباً به صورت سری یا ترکیبی از توابع پیچیده هستند که محاسبه آنها در نقاط حوزه تعریف تابع خود مسئله‌ای از نوع الف و بعضاً مشکل است. لذا، مبادرت به استفاده از روش‌های عددی برای تعیین جواب تقریبی سراسری و گسسته می‌شود [2,3]. در این رابطه از مباحث پیشرفته آنالیز و آنالیز تابعی کمک گرفته می‌شود.

معمولاً روش‌های عددی حل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی صرف‌نظر از استفاده از روش تفاضلات متناهی، عناصر متناهی، حجم‌های متناهی یا عناصر مرزی و ... منجر به حل یک دستگاه معادلات خطی یا غیرخطی می‌شوند که در (ج) به آنها می‌پردازیم. در حل این دسته از مسائل مجبور به بررسی سازگاری، پایداری و همگرایی روش‌ها هستیم و با پدیده‌هایی نظیر پدیده گیبس، آشفتگی و ... روبرو می‌شویم که بر حسب نوع مسئله، برخورد ویژه می‌طلبد.

(II) $A$ یک ماتریس و $w$ یک بردار است و بردار مجهول $u$ باید به دست آید.

در مسائل این قسمت، که معمولاً از گسسته‌سازی مسائل مطرح در (I) ناشی می‌شوند، عمدتاً با حل دستگاه های معادلات شامل مجهولات زیاد روبه‌رو هستیم. روش‌های متفاوتی که در حل مسائل (I) به کار می‌روند همه در جهت کم کردن مرتبه این دستگاه معادلات یا بدست آوردن دستگاه‌هایی با ماتریس ضرایب ویژه؛ نظیر متقارن، معین مثبت، قطر غالب، نواری، مثلثی و الخصوص تُنک است.
با ظهور کامپیوتر، به منظور طراحی روش‌های جدید و گسترش روش های مستقیم و تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی، پیشرفت‌های زیادی در این زمینه صورت گرفته است.

ج. $u$ و $w$ معلوم و عملگر $A$ مجهول است.

مسائل این قسمت عمده‌ترین مسائل طبیعی و کاربردی می‌باشند که برای حل آنها از ظرفیت بالایی از تحقیقات ریاضی محض استفاده می‌شود. بسیاری از مسائل که به طور روزمره با آنها مواجه می‌شویم به صورت توابعی مدلبندی می‌شوند که مقادیر آنها تجربی به دست می‌آیند. لذا همواره با این مسئله روبرو هستیم: تقریبی از تابع $f$ را پیدا کنید که مقادیر آن در نقاط $x_0,x_1,...,x_n$ برابر با $f_0,f_1,...,f_n$ است.

این مسئله شامل درونیابی، پردازش منحنی و تقریب تابع است که از زمان ابوریحان بیرونی [1] مطرح بوده و هم‌اکنون با بهره‌گیری از اسپلاین‌ها، موجک‌ها و قضیه‌های *C-جبر پیشرفت‌های خوبی در آن صورت گرفته است.

تابع رونگه این تصور را که با افزایش نقاط درونیابی می‌توان تقریب چند جمله ای درونیاب را بالا برد رد کرد. اسپلاین‌ها ابزاری قوی برای درون‌یابی ارائه نمودند و موجکها مشکلات استفاده از سری فوریه را حل کردند و ابزار جدیدی برای کار با توابع ناپیوسته و شدیداً نوسانی در اختیار گذاشتند. امروزه با مدلبندی ریاضی بیشتر مباحث علوم مختلف مانند پزشکی، روانشناسی، اقتصاد، مهندسی، هوا-فضا و ... نیاز به روش‌های آنالیز عددی بسیار زیاد شده است. به ویژه مسائل چند بعدی و حل عددی آنها چالش‌های جدیدی پیش روی متخصصین این رشته قرار داده است.

حل مسائل غیرخطی، بدون خطی‌سازی، به روش‌های پریشندگی، هموتوپی و آنالیز هموتوپی در آغاز راه است و تعمیم این روش‌ها و اجرای آنها در مسائل چندبعدی در زمره تحقیقات حال و آینده‌ی آنالیز عددی است.

مراجع:

[1] Herman H. Goldstine, A history of numerical analysis from the 16^th through the 19^th century, Springer-Verlag, New York, 1997.
[2] C. H. T. Baker, Numerical treatment of integral equations, Oxford University Press, 1977.
[3] William  F. Ames, Numerical Methods for partial differential equations, 3^rd edition, Academic Press, Inc., 1992.