فرضیه‌ی ریمان :: ‌حسین زارع

فرضیه‌ی ریمان

يكشنبه, ۳۰ آبان ۱۳۹۵، ۰۱:۰۵ ب.ظ

تابع زتای ریمان، $\zeta(s)$ ، تابعی است از متغیر مختلط $s$ که به‌ازای $s$ با قسمت حقیقی بزرگتر از 1، با استفاده از سری نامتناهی $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{s}} $$ تعریف می‌شود و سپس بطور تحلیلی به تمام اعداد مختلط با قسمت حقیقی غیر 1 توسیع پیدا می‌کند. این تابع به عنوان تابعی با ورودی حقیقی توسط لئوناردو اویلر در نیمه‌ی اول قرن هیجدهم معرفی شد و مورد مطالعه قرار گرفت و سپس برنهارد ریمان در 1859 تعریف اویلر را به متغیر مختلط توسیع داد.

یک ثابت زتا عددی است که از قرار دادن یک عدد صحیح در تابع زتای ریمان حاصل می‌شود. ثابت‌های زتا در اعداد صحیح زوج مثبت توسط اویلر محاسبه شده است. مقدار ثابت‌های زتا در اعداد زوج منفی، صفر است و اعداد صحیح زوج منفی صفرهای بدیهی تابع زتای ریمان نامیده می‌شوند. فرضیه‌ی ریمان که توسط برنهارد ریمان مطرح شد حدسی در مورد مکان صفرهای نابدیهی تابع زتای ریمان است و بیان می‌کند که صفرهای نابدیهی، قسمت حقیقی $1/2$ دارند.
تابع زتا و فرضیه‌ی ریمان ارتباط تنگاتنگی با نظریه اعداد دارند. برای مثال ثابت می‌شود که: $$\frac{1}{\zeta(s)} = \prod_p (1-\frac{1}{p^s})= \sum\limits_{n = 1}^{+\infty } \frac{\mu (n)}{n^s}$$ که در آن حاصلضرب روی اعداد اول گرفته شده است و $\mu (n)$ تابع موبیوس است که روی اعداد طبیعی بدین شکل تعریف می‌شود:

اگر $n$ حاصل ضرب $k$ عدد اول متمایز باشد، آنگاه $\mu (n) = {( - 1)^k}$ و در غیر اینصورت $\mu (n) = 0$ .

با استفاده تابع موبیوس می‌توان حکمی معادل برای فرضیه‌ی ریمان بیان نمود. اگر:$$M(x) = \sum\limits_{n \leqslant x} {\mu (n)}$$آنگاه فرضیه‌ی ریمان معادل است با اینکه به ازای هر $\varepsilon>0$، $$M(x) = O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$$تاکنون احکام معادل‌ بسیاری برای فرضیه‌ی ریمان به دست آمده‌اند. بعضی از آنها چنان ساده و زیبا بیان شده‌اند که کنجکاوی هر فردی را برای اثبات آن برمی‌انگیزند. مثلاً در سال 2002 پروفسور لاگاریاس (Jeffrey C. Lagarias) از دانشگاه میشیگان، نشان داد که فرضیه‌ی ریمان معادل است با اینکه برای هر عدد طبیعی $n$ داشته باشیم:$$\sigma (n) \leqslant H_n + e^{H_n}\ln {H_n}$$ و تساوی فقط در حالت $n=1$ برقرار باشد. در اینجا $\sigma (n)$ مجموع مقسوم‌علیه‌های مثبت عدد طبیعی $n$ و $H_n$ نشان‌دهنده‌ی $n$امین عدد هارمونیک است. یعنی:$$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.$$از نظر بعضی ریاضیدانان، فرضیه‌ی ریمان مهمترین مسئله‌ی حل نشده در ریاضیات محسوب می‌شود. این فرضیه به همراه حدس گلدباخ بخشی از مسئله‌ی 8 در لیست 23 مسئله‌ی معروف هیلبرت است و نیز یکی از مسائل جایزه‌ی هزاره مؤسسه ریاضیات کلی می‌باشد. خود هیلبرت نظرش را در مورد فرضیه ریمان چنین بیان می‌کند:

اگر بعد از هزار سال از خواب بیدار شوم، اولین سؤال من این خواهد بود: «آیا فرضیه‌ی ریمان ثابت شده است؟!»