اندکی در باب دو ثابت معروف
عددهای $e$ و $\pi $ در مباحث مختلف ریاضیات به وفور ظاهر می‌شوند. در این پست قصد داریم به بیان چند دانستنی در مورد آنها بپردازیم. این اعداد را می‌شناسید. $\pi $ نسبت محیط دایره به قطر آن است. مقدار تقریبی $\pi $ تا دو رقم اعشار برابر است با 3.14 . به همین جهت است که روز چهاردهم مارس را به عنوان روز جهانی عدد $\pi $ نامگذاری کرده اند. مقدار تقریبی آن تا 10 رقم اعشار نیز عبارت است از:$$\pi \approx 3.1415926535$$
عدد $e$ مبنای لگاریتم طبیعی است و معمولا در کتاب‌های ریاضی به یکی از دو صورت زیر تعریف می‌شود:$$e=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{(1+\frac{1}{n})}^n}$$ یا عدد مثبت $x$ ی که به‌ازای آن \[\int_{1}^{x}{\frac{1}{t}}\text{ }dt=1\text{ }\]این عدد را گاهی عدد نپر و گاهی عدد اویلر می‌نامند. در حقیقت نخستین بار جان نپر، ریاضیدان اسکاتلندی در سال 1618 با این ثابت مواجه شد، منتها نمادگذاری این عدد، اثبات گنگ بودن آن (1737) و تقریب آن تا 23 رقم اعشار (1748) توسط اویلر صورت گرفت. تقریب این عدد تا 15 رقم اعشار عبارت است از $$e \approx 2.718281828459045$$ برای به‌خاطر سپاری مقدار تقریبی $\pi $ تا ده رقم اعشار شعری وجود دارد که به‌صورت زیر است:
| گر کسی از تو بپرسد ره آموختن $\pi $ |
| پاسخی ده که خردمند تو را آموزد: |
| خــرد و بینش و آگاهی دانشمندان |
| ره ســرمـنـزل مـقــصـود بمـا آمـوزد |
در این شعر، اگر تعداد حروف کلمات بیت دوم را کنار هم قرار دهیم، عدد $\pi $ تا ده رقم اعشار به دست می‌آید.
برای یادگیری تقریب $e$ تا پانزده رقم اعشار نیز، ابتدا $2.7$ را بنویسید، سپس دو بار $1828$ (که بهتر است بصورت هیجده، بیست و هشت بخوانید) را نوشته و در آخر $459045$ را بنویسید. $45$، $90$، $45$ هم زوایای مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین هستند.
عددهای $\pi $ و $e$ هر دو گنگ هستند. یک حکم قویتر وجود دارد که نشان می‌دهد آنها متعالی‌اند.
در طول تاریخ دانشمندان زیادی به تقریب $\pi $ پرداخته‌اند. ارشمیدس عدد $\frac{22}{7}$ را بعنوان تقریب $\pi $ در محاسباتش بکار می‌برد. مشهور است که ریاضیدان ایرانی غیاث الدین جمشید کاشانی تقریبی از $\pi $ تا 16 رقم اعشار درست بدست آورد که تقریبا تا دو قرن بعد از او در دنیا بی‌رقیب بود. نفر دیگری که به تقریب بهتر $\pi $ اقدام کرد جان ماشن ریاضیدان انگلیسی بود. ماشن در سال 1706 با با یک اتحاد مثلثاتی توانست صد رقم اول اعشار $\pi $ را حساب کند:$$\pi = 16\arctan(\frac15) - 4\arctan(\frac1{239})$$گنگ بودن $\pi $ را لامبرت در سال 1768 ثابت کرد و این موضوع که عدد $e$ گنگ است نخستین بار در سال 1737 توسط اویلر ثابت شد. در سال 1840 لیوویل ریاضیدان فرانسوی ثابت کرد که $e$ جواب هیچ معادله درجه دومی نیست و در سال 1873 هم وطنش شارل هرمیت در یکی از آثار راهگشایش نشان داد که $e$ متعالی است، یعنی نمی تواند جواب هیچ معادله جبری باشد. آنچه در این مورد اهمیت داشت، روشی بود که هرمیت بکار برده بود. 9 سال بعد لیندمان ریاضیدان آلمانی با ایده گرفتن از روش هرمیت ثابت کرد که $\pi $ نیز متعالی است.
ارتباطات $\pi $ و $e$
- مقادیر $e^{\pi}$ و ${\pi}^{e}$ به هم نزدیک‌اند. اما به عنوان یک تمرین می‌توان نشان داد که حالتی که در آن عدد $\pi $ در توان قرار دارد، عدد بزرگتری است.
- عدد $e^{\pi}$ را ثابت گلفاند می‌نامند و ثابت شده است که مقداری گنگ است. در مورد ${\pi}^{e}$ مطالب کمتری می‌دانیم. گنگ بودن این عدد هنوز به اثبات نرسیده است. البته اگر گنگ باشد.
- جبری یا متعالی بودن عدد ${\pi}+{e}$ مسئله‌ای باز است.
- رابطه‌ی $e^{i\pi}+1=0$ از آن اویلر است و بعنوان زیباترین فرمول ریاضی شناخته شده است.
- در ارتباط با هر یک از این دو عدد، روابط جالب فراوانی تاکنون بیان شده‌اند که برخی از آنها را در لینکهای زیر می‌توان مشاهده کرد. از میان تمام آنها تنها به دو رابطه‌ی زیر اشاره می‌کنیم.
1. رابطه‌ی گاسپر:$$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\cos\left(\frac{9}{n\pi + \sqrt{n^{2}\pi^{2} - 9}}\right) = -\frac{\pi^{2}}{12e^{3}}
$$
2. فرمول رامانوجان:$$\frac1{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!$$
صفری