تابع لبگ و نقاط مناسب درونیابی

فرض کنید بخواهیم تابع $f$ را روی یک مجموعه از نقاط متمایز در $ \left[ a,b \right]$ با یک چندجمله‌ای از درجه‌ی $n$ مانند $p_{n}$ درونیابی کنیم. مسئله این است که نقاطی که $f$ در آن‌ها درونیابی می‌شود، تا چه‌اندازه می‌توانند در دقت چندجمله‌ای درونیاب حاصل مؤثر باشند. در اینجا خطا را به کمک نرم بی‌نهایت می‌سنجیم. یعنی قرار می‌دهیم: $$E({{p}_{n}}):={{\left\| f-{{p}_{n}} \right\|}_{\infty }}=\underset{a\le x\le b}{\mathop{\max }}\,\left| f(x)-{{p}_{n}}(x) \right|$$ فرض کنید $p_{n}^{*}$ بهترین تقریب چندجمله‌ای درجه‌ی $n$ برای تابع $f$ در بازه‌ی $ \left[ a,b \right]$ باشد. به این مفهوم که:$${{\left\| f-p_{n}^{*} \right\|}_{\infty }}=\underset{p\in {{P}_{n}}}{\mathop{\min }}\,(\underset{a\le x\le b}{\mathop{\max }}\,\left| f(x)-p(x) \right|)$$چندجمله‌ای $p_{n}^{*}$ معمولا چندجمله‌ای مینیماکس تابع $f$ در بازه‌ی $ \left[ a,b \right]$ نامیده می‌شود.

اکنون می‌توان ارتباط خطای چندجمله‌ای درونیاب تابع $f$ و خطای چندجمله‌ای مینیماکس تابع $f$ را به کمک قضیه‌ی زیر بیان کرد.

قضیه:

فرض کنیم $f\in C\left[ a,b \right]$  و $p_{n}^{*}$ چندجمله‌ای مینیماکس درجه $n$ تابع $f$ باشد و داشته باشیم:$${{\rho }_{n}}:={{\left\| f-p_{n}^{*} \right\|}_{\infty }}$$ همچنین فرض کنیم ${{p}_{n}}\left( X,f \right)$ چندجمله‌ای درونیاب $f$ روی مجموعه‌ نقاط متمایز $X\subseteq [a,b]$ باشد. آن‌گاه $${{\left\| f-{{p}_{n}}\left( .,f \right) \right\|}_{\infty }}\le \left( 1+{{\Lambda }_{n}} \right){{\rho }_{n}}$$ که در آن$${{\Lambda }_{n}}=\underset{a\le x\le b}{\mathop{\max }}\,\underset{i=0}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,\left| {{\ell }_{i}}\left( x \right) \right|~$$ و ${{\ell }_{i}}$ ها چندجمله‌ای‌های لاگرانژ متناظر با نقاط درونیابی هستند که به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:$${{\ell }_{i}}(x)=\frac{(x-{{x}_{0}})(x-{{x}_{1}})...(x-{{x}_{i-1}})(x-{{x}_{i+1}})...(x-{{x}_{n}})}{({{x}_{i}}-{{x}_{0}})({{x}_{i}}-{{x}_{1}})...({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}})({{x}_{i}}-{{x}_{i+1}})...({{x}_{i}}-{{x}_{n}})}$$

تابع${{\lambda}_{n}}\left(x\right)=\sum_{i=0}^{n}\,\left| {{\ell }_{i}}\left(x \right) \right|$ تابع لبگ روی نقاط درونیابی $\left\{ {{x}_{0}},...,{{x}_{n}} \right\}$ و ${{\Lambda }_{n}}$ ثابت لبگ نظیر آن نقاط نامیده می‌شود.

همانطور که ملاحظه می‌کنید ثابت لبگ مستقل از تابع $f$ است و تنها به نقاط درونیابی بستگی دارد و با توجه به حکم قضیه‌ی فوق اندازه‌ی آن می‌تواند به منظور یک انتخاب مناسب از نقاط درونیابی، مفید واقع شود.

در ادامه، رفتار تابع لبگ ${{\lambda}_{10}}\left(x\right)=\sum_{i=0}^{10}\,\left| {{\ell }_{i}}\left(x \right) \right|$ و ${{\lambda}_{20}}\left(x\right)=\sum_{i=0}^{20}\,\left| {{\ell }_{i}}\left(x \right) \right|$ را در $ \left[ -1,1 \right]$ یکبار به ازای نقاط متساوی‌الفاصله و بار دیگر به‌ازای ریشه‌های یک چندجمله‌ای چبیشف بررسی می‌کنیم.

 

نمودار تابع لبگ ${{\lambda}_{10}}\left(x\right)=\sum_{i=0}^{10}\,\left| {{\ell }_{i}}\left(x \right) \right|$ روی $\left[ -1,1 \right]$

الف) برای 11 نقطه متساوی الفاصله:$$X=\left\{ -1+0.2i~|~i=0,\ldots ,10 \right\}$$

ب) برای ریشه‌های چندجمله‌ای چبیشف ${{T}_{11}}\left( x \right)$:$$X=\left\{ \cos \frac{\left( 2i-1 \right)\pi }{2\left( i+1 \right)}~|~i=1,\ldots ,11 \right\}$$

 

نمودار تابع لبگ ${{\lambda}_{20}}\left(x\right)=\sum_{i=0}^{20}\,\left| {{\ell }_{i}}\left(x \right) \right|$ روی $\left[ -1,1 \right]$

ج) برای 21 نقطه متساوی الفاصله: $$X=\left\{ -1+0.1i~|~i=0,\ldots ,20 \right\}$$

 

در اینجا می‌بینیم که عدد 5 روی محور عمودی برای نمایش کامل این تابع لبگ کفایت نمی‌کند. پس از کمی سعی و خطا، طول محور عمودی را بیشتر از 11000 واحد انتخاب می‌کنیم تا تمام تابع نمایش داده شود!

د) برای ریشه‌های چندجمله‌ای چبیشف ${{T}_{21}}\left( x \right)$:

$$X=\left\{ \cos \frac{\left( 2i-1 \right)\pi }{2\left( i+1 \right)}~|~i=1,\ldots ,21 \right\}$$

نتیجه‌ی این مطلب آن است که نقاط متساوی‌الفاصله، نقاط مناسبی برای درونیابی نیستند، در حالی که ریشه‌های چندجمله‌ای‌های چبیشف یکی از انتخاب‌های بسیار مناسب برای نقاط درونیابی هستند.