نمایش اعداد در استاندارد IEEE 754

به لحاظ تاریخی، کامپیوترها‌ی گوناگون انتخاب‌های متفاوتی در تعیین مبنا، کران‎های نما و ارقام مانتیسِ نمایش ممیز شناور داشته‌اند. در سال 1985 با تلاش‌های گروهی متشکل از ریاضیدانان، دانشمندان علوم کامپیوتر و شرکت‎های تولید سخت‌افزار به سرپرستی ویلیام کاهان از دانشگاه کالیفرنیا، استانداردی برای نمایش اعداد ممیز شناور تحت عنوان IEEE 754 به سازندگان سخت‌افزارها عرضه شد. هم‌اکنون در بیشتر کامپیوترها از این استاندارد استفاده می‌شود. استاندارد IEEE، چند قالب کلی با دقت‌های مختلف از جمله دقت معمولی، دقت مضاعف و دقت‌های معمولی و مضاعف توسعه یافته برای نمایش اعداد ارائه می‌کند. در این‌جا به منظور آشنایی بیشتر با شیوه‌ی نمایش اعداد در این استاندارد، نحوه‌ی نمایش در دقت‌ معمولی و مضاعف را شرح می‌دهیم.

مبنای در نظر گرفته‌ شده در این استاندارد $\beta=2$ است. مطابق این استاندارد، در دقت معمولی از 32 بیت و در دقت مضاعف از 64 بیت برای نمایش یک عدد استفاده می‌شود. هر نمایش از سه بخش تشکیل می‌شود که عبارتند از علامت $(s)$، نمای تعدیل یافته $(c)$ و قسمت کسری مانتیس نرمال شده $(f)$.

این سه بخش با استفاده از روابط‌ زیر مشخص می‌شوند به‎صورت $(s|c|f)$ در کنار هم قرار می‌گیرند:

 دقت معمولی:$$x=\pm(1.f)_{2}\times2^{e}=(-1)^s(1.f)_2\times2^{c-127}$$

 دقت مضاعف:$$x=\pm(1.f)_{2}\times2^{e}=(-1)^s(1.f)_2\times2^{c-1023}$$

در دقت معمولی، از 32 بیت اختصاص داده شده برای نگهداری عدد، یک بیت برای علامت $(s)$ استفاده می‌شود به‌طوری که $s=0$ برای علامت مثبت و $s=1$ برای علامت منفی به‌کار می‌رود. از 31 بیت باقیمانده، 8 بیت آن برای نگهداری نمای تعدیل یافته $(c)$ و 23 بیت آن برای قسمت کسری مانتیس نرمال شده $(f)$ استفاده می‌شود. در دقت مضاعف، از 64 بیت اختصاص داده شده برای نگهداری عدد، یک بیت برای علامت $(s)$ و از 63 بیت باقیمانده، 11 بیت آن برای نگهداری نمای تعدیل یافته $(c)$ و 52 بیت آن برای قسمت کسری مانتیس نرمال شده $(f)$ استفاده می‌شود.
همان‌طور که ملاحظه می‌کنید شکل کلی قالب‌های ذکر شده در دقت‌های معمولی و مضاعف، کمی شبیه به نمایش ممیز شناور نرمال است. فقط باید توجه داشت که در استاندارد IEEE مانتیس $x$ به صورت $(1.f)_2$ نرمال و تنها قسمتی از مانتیس که با $f$ نشان داده شده است، نمایش داده می‌شود. در واقع، چون اولین بیت مانتیس نرمال شده همواره برابر با 1 است نیازی به ذخیره‌سازی آن نیست. در عوض، این بیت برای نمایش نما مورد استفاده قرار می‌گیرد.

مثال: عدد $x=-45.75$ را در نظر بگیرید. می‌خواهیم این عدد را در استاندارد IEEE با دقت معمولی نمایش دهیم. برای این منظور، ابتدا نمایش دودویی آن را می‌یابیم. داریم $x=-(101101.11)$. حال باید این عدد را به فرم $(1.f)_2\times2^e$ درآوریم: $$x=-(1.0110111)×2^5$$اکنون از این تساوی باید مقادیر s ،f و c را بیابیم. با توجه به قالب کلی دقت ساده داریم:$$s=1,~~ f=0110111,~~e=5=c-127$$ در نتیجه $c=132=(10000100)_2$ و بنابراین:$$x=1|10000100|01101110000000000000000$$مثال: عدد زیر در استاندارد IEEE با دقت معمولی نمایش داده شده است.$$y=0|10000001|10011000000000000000000$$می‌خواهیم نمایش اعشاری آن را بیابیم. با توجه به نمایش فوق داریم:$$s=0,~~ c=(10000001)_2=129,~~ f=10011$$بنابراین $y$ عددی مثبت است و $e=c-127=129-127=2$. در نتیجه:$$y=+(1.f)_2×2^e=(1.10011)_2×2^2=(110.011)_2=6.375$$ فرمت جدید unum

جان گوستافسون، یکی از متخصصان محاسبات علمی، قالب جدیدی برای نمایش اعداد پیشنهاد کرده است که ضمن صرفه‌جویی در فضا و انرژی، پاسخ‌های دقیق‌تری برای محاسبات ممیز شناور استاندارد فراهم می‌کند. این قالب جدید می‌تواند انجام محاسبات عددی ما را به نحو مطلوبی دگرگون سازد. (والتر تیچی)

John L. Gustafson

 فرمت unum (universal number) از روی استاندارد IEEE ساخته می‌شود. مطابق تعریف unum، هر نمایش از شش بخش بصورت زیر تشکیل می‌گردد: $$s|e|f|u|es-1|fs-1$$

در این قالب:

• s علامت عدد است به‌طوری که $s=0$ برای علامت مثبت و $s=1$ برای علامت منفی به‌کار می‌رود.
• e نمای عدد است.
• f قسمت کسری عدد است.
  
• u بیت عدم قطعیت (uncertainty bit) نام دارد و در صورتی که مقدار بخش کسری دقیق باشد، برابر با 0 وگرنه برابر با 1 است.
• es سایز نما است. مثلا اگر برای ذخیره نما هشت بیت بکار رود es برابر ₂(111) خواهد بود.
• fs سایز کسر است. مثلا اگر برای ذخیره کسر بیست و سه بیت بکار رود fs برابر ₂(10110) خواهد بود.

برای آشنایی بیشتر با این فرمت، گوستافسون کتابی تحت عنوان «پایان خطا» منتشر کرده است که در انتهای همین پست می‌توانید آن را دریافت کنید.

برای اینکه ببینید که فرمت unum تا چه اندازه می‌تواند در میزان حافظه صرفه جویی کند، نمایش ثابت آووگادرو ($\approx6.022 \times 10^{23}$) را در نظر بگیرید. نمایش این عدد در استاندارد IEEE با دقت مضاعف (64 بیتی) به‌صورت زیر است:

0 10001001101 1111111000010101010011110100010101111110101000010011
|      |                          |
|      |                       fraction (hidden bit not shown)
|   exponent
|
sign bit

این عدد در فرمت unum به صورت زیر نمایش داده می‌شود اما این بار با 29 بیت.

0   11001101   111111100001   1   111   1011
|       |           |         |    |      |
|       |           |         |    |     frac. size
|       |           |         |    |
|       |           |         |   exp. size
|       |           |         |
|       |           |       uncertainty bit
|       |           |
|       |        fraction (hidden bit not shown)
|       |
|   exponent
|
sign bit

کتاب پایان خطا، جان. ال. گوستافسون

پال اردوش

پال اردوش یک ریاضیدان برجسته‌ی قرن بیستم است. وی در سال 1913 میلادی در مجارستان متولد شد و در سال 1996 در همانجا درگذشت. اردوش در زمینه‌های مختلف ریاضیات مانند ریاضیات گسسته، نظریه گراف، نظریه تقریب، آنالیز ریاضی و احتمالات کار می‌کرد و تا پایان عمر خود تلاش‌های گسترده‌ای برای انتشار مقالات علمی داشت. همکاری با اردوش در انتشار مقاله یک افتخار بزرگ برای هر ریاضیدان محسوب می‌‌شود تا جایی که امروزه عدد اردوش یک ریاضیدان به فاصله‌ی همکاری بین او و اردوش اطلاق می‌گردد.
 

 

Paul Erdős
 

متنی که در ادامه می‌آید یادداشتی است که در تاریخ 26 سپتامبر 1996 در واشنگتن پست به مناسبت درگذشت اردوش منتشر گردید. این متن که ترجمه‌ی آن توسط دکتر سعید قهرمانی صورت گرفته است، گوشه‌هایی از زندگی اردوش را به تصویر می‌کشد.
 

یکی از خارق‌العاده‌ترین مغزهای زمان ما رفته است. «رفته» واژه‌ایست که اردوش، نابغه‌‌ای با استعداد خداداد و ریاضیدانی مولد، برای مرگ به کار می‌برد. اردوش واژه‌ی مردن را برای حالت باز ایستادن از انجام ریاضی به کارمی‌برد. اردوش هیچ‌وقت نمرد. او به انجام دادن ریاضی تا آخرین روز مرگش در جمعه 20 سپتامبر ادامه داد، رشته‌ای که مشهور است به اینکه مخصوص انسان‌های جوان است. اردوش در زمان مرگ ۸۳ ساله بود.

 

نه تنها اردوش در انتخاب واژه‌ها غیرمتعارف بود بلکه تمام زندگی او آنچنان غیرمحتمل–غیرمتعارف می‌نمود که نوآوری قادر به خلق او نبود (اگرچه در نوامبر 1987 در ماهنامه آتلانتیک، پال هافمن او را به زیبایی توصیف کرده بود).

اردوش خانه‌ای نداشت، خانواده‌ای نداشت، مال و اموالی نداشت و آدرسی هم نداشت! او از یک کنفرانس ریاضی به کنفرانس ریاضی دیگری و از یک دانشگاه به دانشگاه دیگری می‌رفت و بر خانه‌ی ریاضیدان‌ها در سراسر دنیا در می‌کوفت و اعلام می‌کرد که «ذهن من باز است» و وارد می‌شد. همکاران او مفتخر از همکاری و تشریک مساعی چند روزه با اردوش –که وسعت دید ریاضی او به اندازه‌ی عمق دانش ریاضی‌اش توجه‌ها را برمی‌انگیخت– از او استقبال می‌کردند.

 

اردوش با دو چمدان نیمه پر مسافرت می‌کرد که در یکی چند دست لباس و وسایل شخصی و در دیگری مقاله‌های ریاضی بود. اردوش مالک هیچ چیز دیگری نبود واقعاً هیچ چیز! دوستان اردوش کارهای روزانه‌ی او از جمله پرداخت‌های مالیاتی، امور مالی و تهیه‌ی غذا را برایش انجام می‌دادند. او به اعداد می‌پرداخت.

به نظر می‌رسید او از زمان تولد محکوم به حبس ابد تنهایی بود، از همان روزی که دو خواهر 3 و 5 ساله‌اش به سبب مخملک از بین رفتند و او را به عنوان تنها فرزند با یک مادر همیشه نگران در خانه تنها گذاشتند. هیتلر تقریباً تمام خانواده‌ی یهودی مجارستانی او را از بین برد و اردوش هیچگاه ازدواج نکرد. آگهی تسلیت او در روزنامه واشنگتن پست با این جمله‌ی ناگهانی و در واقع دردناک تمام می‌شود «او هیچ ورثه‌ای از خود به جای نگذاشت».

اما در حقیقت او از خود ورثه‌های زیادی باقی گذاشت که شامل صدها همکار علمی و 1500 مقاله ریاضی بود که به وسیله‌ی او تولید شد. میراث اعجاب‌آور در رشته‌ای که تولید 50 مقاله در طول زندگی یک ریاضیدان کاملاً غیر عادی و بی‌نظیر است.
تصور عمومی درباره‌ی ریاضیدان‌ها این است که زود شکوفا می شوند و زود می‌میرند. رامانوجان نابغه‌ی بزرگ هندی در سن 32 سالگی مرد. ریاضیدان بزرگ فرانسوی، اواریست گالوا در سن 21 سالگی از دنیا رفت. (می‌گویند گالوا در شب قبل از مرگش در یک دوئل، تمام شب را بیدار بود و هر چه را که می‌دانست می‌نوشت. آیا به او الهام شده بود؟) و آنهایی که از نظر سنی جوان نمی‌میرند اما به تعبیر اردوش، در 30 سالگی عملاً مرده‌اند.

 

اردوش چنین نبود. او کار خود را از سنین جوانی آغاز کرد. اردوش در سن 20 سالگی اثباتی را برای یک قضیه‌ی کلاسیک نظریه اعداد کشف کرد (که بین هر عدد و دو برابرش باید یک عدد اول وجود داشته باشد). او تا زمان مرگش بارور باقی ماند. همچنین دوستان او و یاور مالی‌اش دکتر (البته دکترای ریاضی) ران گراهام، تخمین می‌زنند که شاید هنوز 50 کار جدید اردوش شامل مقاله، کارهای بازتابی و عمیق و کارهای مشترکی که تا زمان مرگش در حال انجام دادن آنها بود بعدها چاپ شود.

اردوش از یک جنبه‌ی دیگر نیز غیر معمول بود. واژه‌ی همیشه در سفر، نابغه‌ی غیرمتعارف و کاملاً جذب شده در دنیای افکار خویش، کلیشه‌ای است که تقریباً همیشه به یک آدم «غیر اجتماعی» اطلاق می‌شود. از بابی فیشر تا هواردهافز، به نظر می‌رسد که غیر اجتماعی بودن و تعصب فکری با هم خویشی و نسبت دارند. اما این موضوع در مورد اردوش صادق نبود. او ملایم و باز بود و با دیگران سخاوتمندانه برخورد می‌کرد. او معتقد بود که باید ریاضی را یک فعالیت اجتماعی کرد. همچنین او پرکارترین و بارورترین ریاضیدان تاریخ بود که روحیه‌ی مشارکت بالایی داشت و با دیگران کار می‌کرد. صدها نفر از همکارانی که با اردوش یا تحت نظارت او کار مشترک چاپ کرده‌اند می‌توانند بعد از ظهری را تصور کنند که ذهنهایشان بر اثر همکاری با اردوش باز شد و به پیروزی‌ها و نگرش‌های تازه‌ای دست یافتند.

خاصیت اجتماعی بودن اردوش او را از سایر نابغه‌های ریاضی نیز متمایز می‌کند. برای مثال اندرو وایلز اخیراً برای حل قضیه‌ی مقدس ریاضی یعنی قضیه‌ی آخر فرما –بعد از 7 سال کار کردن بر روی آن در اتاق زیر شیروانی خانه‌اش– به شهرت رسید. وایلز پس از آن همه تلاش اثبات خود را به عنوان یک غیر مترقبه در دنیا انتشار داد.

 

اردوش نه تنها نبوغش را در اختیار دنیا گذاشت، بلکه پولش را هم تقسیم کرد. البته این حرف به نظر یک فکاهی می‌رسد زیرا او به مقدار بسیار ناچیزی پول داشت. اما در حقیقت همین مسئله خیلی احساس برانگیز بود. او چیزی نداشت زیرا هر چه که به دست می‌آورد به دیگران می‌بخشید. او برای انجام هر کار خیریه یا حل مشکل هر بخت‌برگشته‌ای که سر راهش قرار می‌گرفت احساس رقیقی داشت. اردوش پولی را که از ایراد چند سخنرانی در هند نصیبش شده بود به بیوه‌ی تهیدست رامانوجان بخشید. اردوش در کنفرانس ریاضی ایران در شیراز شرکت کرد و آن ایام مصادف با زلزله‌ی لار شد. اردوش مبلغی به زلزله‌زدگان اهدا کرد.

گراهام نقل می‌کند که اردوش مطلع شد که یک ریاضیدان بالقوه توانای جوان می‌خواست به دانشگاه هاروارد برود اما پول مورد نیاز را نداشت. اردوش ترتیب دیدار او را داد و به او هزار دلار قرض داد. (تمام پولی که اردوش با خود حمل می‌کرد حدود 30 دلار بود). اردوش به مرد جوان گفت که هر وقت که توانست می‌تواند پول او را پس بدهد. اخیرا آن مرد جوان به گراهام تلفن کرد تا بگوید او هاروارد را به پایان رسانده و هم اکنون مشغول تدریس در میشیگان است و می‌تواند پول را به او پس بدهد. چه کار بکند؟ گراهام با اردوش مشورت کرد. اردوش گفت: «به او بگو همان کاری را با هزار دلار بکند که من کردم». اردوش البته هیچ ورثه‌ای از خود به جای نگذاشت.