کتاب‌های بهینه‌سازی

در این پست تعدادی کتاب در زمینه بهینه‌سازی قرار می‌دهم که امیدوارم برای دانشجویان ریاضی کاربردی مفید واقع شود.
برنامه‌ریزی خطی و جریان‌های شبکه، بازارا
برنامه‌ریزی غیرخطی، بازارا
برنامه‌ریزی خطی و غیرخطی، لوئنبرگر
برنامه‌ریزی خطی، دانتزیگ
برنامه‌ریزی خطی، واندربی
بهینه‌سازی خطی و غیرخطی، گریوا، نش و سافر
تحقیق در عملیات، حمدی طه
برنامه‌ریزی خطی و کاربردهای آن، استرایر
مقدمه‎ای بر بهینه‌سازی، پدرگال
مقدمه‌ای بر بهینه‌سازی خطی، برتسیماس
برنامه‎ریزی خطی تصادفی،کال و مایر
نظریه‌ی بهینه‌سازی و روشها (برنامه‌ریزی غیرخطی)، سان و یوان
روش‌های کاربردی بهینه‌سازی، فلچر
بهینه‌سازی عددی، نوسدال و رایت ........................ حل‌المسائل بهینه‌سازی عددی نوسدال
روش‌های عددی برای بهینه‌سازی نامقید، دنیس و اشنیبل
برنامه‌ریزی غیرخطی، برتسیکاس ......................... حل‌المسائل: فصل یک، فصل دو، فصل سه، فصل چهار، فصل پنج.
بهینه‌سازی شبکه‌ (گسسته و پیوسته)، برتسیکاس
داستان‌های بهینه‌سازی، جمعی از نویسندگان
الگوریتم‌های بهینه‌سازی محدب، برتسیکاس
نظریه‌ی بهینه‌سازی محدب، برتسیکاس
بهینه‌سازی محدب، بوید .................................... حل‌المسائل بهینه‌سازی محدب بوید
بهینه‌سازی مقید و روشهای مضارب لاگرانژ، برتسیکاس
تصمیم‌گیری چند هدفه فازی، زنگ و هوانگ
بهینه‌سازی چندهدفه‌ی غیرخطی، میتنن
بهینه‌سازی چندهدفه با استفاده از الگوریتم‌های تکاملی، دب
بهینه‌سازی چندمعیاره، ارگات
الگوریتم‌های تکاملی برای حل مسائل بهینه‌سازی چندهدفه، کوئلو کوئلو، لمانت و ون‌ولدهوزن

ویرایش ششم هندبوک ریاضیات برنشتاین

در این پست ویرایش ششم (2015) کتاب جامع ریاضیات (Handbook of mathematics) نشر Springer نوشته‌ی برنشتاین و همکاران را قرار داده‌ام که می‌تواند مورد استفاده‌ی تمام دانشجویان علوم ریاضی و مهندسی قرار گیرد.

 

Handbook of mathematics, I.N. Bronshtein et all (2015) Springer

کارل فردریک گوس

کارل فردریک گوس (1855-1777) ریاضیدان معروف آلمانی است. هنوز هفت سالش نبود که وارد مدرسه شد. مدرسه‌‌ی ملی آلمان در پایان سده‌ی هیجدهم و ابتدای سده‌ی نوزدهم، مدرسه‌ای خشک و بی‌روح و با روشی بر پایه‌ی حافظه و یادگیری طوطی‌وار بود. به‌خصوص بچه‌ها بیش از همه، تلخی این روش یادگیری و آموزشی را احساس می‌کردند. حفظ طوطی‌وار تنها روش آموزش، و شلاق تنها وسیله‌ی تربیت بچه‌ها بود. تازیانه پی در پی بر پشت دانش‌آموزان خطاکار فرود می‌آمد.
از همان کلاس اول، کارل در بین همه دوستانش ممتاز بود. او بچه‌ای مستعد و با پشتکار بود. در درس حساب، همیشه مسئله‌ها را به سرعت، درست و دقیق حل می‌کرد.
قاعده‌ی کار در کلاس به این ترتیب بود: هر شاگرد که کار خودش را انجام می‌داد، لوحه‌ای که حاوی تکلیف‌هایش بود، روی میز معلم می‌گذاشت. در آن زمان، مدرسه‌ها از تخته‌های نازک سنگی استفاده می‌کردند و به آن‌ها لوح می‌گفتند. هر دانش‌آموز لوحی مخصوص داشت و با قلمی که به آن «گریفل» می‌گفتند، روی آن می‌نوشت. وقتی همه لوح‌ها جمع می‌شد، معلم آن‌ها را برمی‌داشت و تصحیح می‌کرد.
در یکی از ساعت‌های درس حساب، معلم این مسئله را به آن‌ها داد: مجموع عددهای طبیعی 1 تا 100 را پیدا کنید.
هنوز اندکی از طرح این مسئله نگذشته بود که کارل لوح خود را روی میز گذاشت. معلم نگاهی به کارل انداخت و پوزخندی زد. او تصمیم نداشت که از تنبیه او بگذرد، ولی قلباً برای او متأسف بود. کارل، کوچکترین شاگرد کلاس و ضمناً ضعیف و لاغر بود. بیوتنر (معلم کلاس)، دلش به حال این بچه‌ی ضعیف می‌سوخت. وضع جسمانی کارل طوری بود که دشمنی او را برنمی‌انگیخت. ولی چه می‌شود کرد؟ قانون و انضباط مدرسه، این‌طور حکم می‌کند.
بیوتنر خیلی به خودش فشار آورد که پسرک را مورد سرزنش قرار نداد. او حتی دلش می‌خواست برود، لوح پسرک را بردارد و به او پس بدهد و از او بخواهد که کار خود را کنترل کند. او پیش خود فکر می‌کرد:«مگر ممکن است که این پسرک در یک لحظه توانسته باشد مجموع صد عدد را پیدا کند؟» در این ضمن، دیگر شاگردان به‌سختی مشغول بودند. صدای تق و توق لوح‌ها، از همه جا بلند بود. همه با جدیت مشغول حل مسئله بودند. تنها کارل بود که بدون کار نشسته بود. او به درستی راه‌حل خود اطمینان داشت و نگاه‌های معلم پریشانش نمی‌کرد. او احساس کسی را داشت که به پیروزی خود در مبارزه اعتماد دارد.
وقتی که بیوتنر شروع به تصحیح کرد از تعجب خشکش زد. او متوجه شد که نه تنها کارل کوچک، مسئله را درست حل کرده است، بلکه راه‌حل بسیار ساده‌ و جالبی هم برای آن پیدا کرده است!

تابع اکرمن (Ackermann)

تابع اکرمن به‌ازای هر دو عدد صحیح و نامنفی $m$ و $n$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$A(m,n)=\cases{n+1 &$m=0$\\A(m-1,1) &$m\geq 1$, $n=0$\\A(m-1,A(m,n-1)) &$m\geq 1$, $n\geq 1$}$$

علت شهرت این تابع، رشد بسیار بالای آن‌ است. آهنگ افزایش این تابع بازگشتی آن‌قدر زیاد است که با توابع چندجمله‌ای، فاکتوریل یا نمایی قابل مقایسه نیست. برای آشنایی بیشتر با این تابع بازگشتی، چند جمله‌ی اول آن را در نظر می‌گیریم:

$$A(0,0 ) = 1\\ A(0,1 ) = 2\\ A(0,2 ) = 3\\ A(0,3 ) = 4\\ A(0,4 ) = 5\\ A(1,0 ) = 2\\ A(1,1 ) = 3 \\A(1,2 ) = 4\\ A(1,3 ) = 5 \\A(1,4 ) = 6 \\A(2,0 ) = 3 \\A(2,1 ) = 5\\ A(2,2 ) = 7 \\A(2,3 ) = 9 \\A(3,0 ) = 5 \\A(3,1 ) = 13\\ A(3,2 ) = 29 \\A(4,0 ) = 13$$

با توجه به مقادیر بالا ممکن است فکر کنید که آهنگ افزایش این تابع آن‌قدرها هم زیاد نیست. اما حقیقت چیز دیگری است.

در واقع $A(4,1)=65533$ و حاصل $A(4,2)$ هم عددی 19729 رقمی است!

محاسبه‌ی مقدار $A(4,3)$ نیز تاکنون با پیشرفته‌ترین کامپیوترها امکان‌پذیر نشده است و مقادیر دیگر $A(m,n)$ وقتی $m\geq 4$ به مراتب بزرگ‌تر است. تابع اکرمن مثالی است برای نشان دادن اینکه کامپیوترهای سریع امروزی هنوز هم توان محاسبه‌ی مقدار متناهی برخی از توابع ریاضی را ندارند.

کتاب‌هایی برای درس نظریه‌ی تقریب

در این پست تعدادی کتاب در زمینه نظریه تقریب قرار می‌دهم که امیدوارم برای دانشجویان ریاضی کاربردی مفید واقع شود.

تاریخ نظریه تقریب از اویلر تا برنشتاین، استفنس

درونیابی و تقریب، دیویس

درآمدی بر نظریه‌ی تقریب توابع، ریولین

چندجمله‌ای‌های متعامد؛ محاسبه و تقریب، گائوچی

آشنایی با نظریه تقریب، چنی

درونیابی و تقریب با چندجمله‌ای‌ها، فیلیپس

نظریه‌ی تقریب توابع یک متغیره، تیمان

تقریب نظری و عملی، ترفتن

نظریه‌ تقریب یکنواخت توابع با استفاده از چندجمله‌ای‌ها، جیادایک

و برای آشنایی بیشتر با چندجمله‌ای‌ها:

چندجمله‌ای‌ها و نامساوی‌های چندجمله‌ای‌ها، بروین و اِدلی

آشنایی با چندجمله‌ای‌های متعامد، چیهارا

مرور برخی از مفاهیم جبرخطی عددی

مطالب این پست می‌تواند برای یادآوری برخی مفاهیم جبرخطی عددی مفید واقع شود.

تعریف 1. یک میدان، مجموعه‌­ا­ی است مانند $\mathbb{F}$ همراه با دو عمل  \[+,\,\cdot :\mathbb{F}\times \mathbb{F}\to \mathbb{F}\] که در شرایط زیر صدق می­‌کنند:

الف) برای هر$x,y,z\in \,\mathbb{F}$ ، $x+(y+z)=(x+y)+z$  (خاصیت شرکت­‌پذیری جمع)؛

ب) عضو یکتای $0\in \,\mathbb{F}$ وجود دارد به­‌طوری­که برای هر $x\in \,\mathbb{F}$، \[x+0=0+x=x\] (عضو خنثی جمع)؛

ج) برای هر$x\in \,\mathbb{F}$ ، عضو یکتای $-x\in \,\mathbb{F}$ وجود دارد به­ طوری­که برای هر $x\in \,\mathbb{F}$، $x+(-x)=0$ (عضو قرینه نسبت به جمع)؛

د) برای هر$x,y\in \,\mathbb{F}$ ، $x+y=y+x$ (خاصیت جابجایی جمع)؛

هـ) برای هر $x,y\in \,\mathbb{F}$، $x\cdot y=y\cdot x$ (خاصیت جابجایی ضرب)؛

و) برای هر$x,y,z\in \,\mathbb{F}$ ، $x\cdot (y\cdot \,z)=(x\cdot y)\cdot z$ (خاصیت شرکت­‌پذیری ضرب)؛

ز) عضو یکتای $1\in \,\mathbb{F}$ وجود دارد به­‌طوری­که برای هر$x\in \,\mathbb{F}$ ،$1\cdot x=x$  (عضو خنثی ضرب)؛

ح) برای هر عضو ناصفر $x\in \,\mathbb{F}$، عضو یکتای ${{x}^{-1}}\,\in \,\mathbb{F}$ وجود دارد به­‌طوری­که $x\cdot {{x}^{-1}}=1$  (عضو وارون ضرب)؛

ط) برای هر $x,y,z\in \,\mathbb{F}$ ،$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$  (خاصیت توزیع­‌پذیری ضرب نسبت به جمع).

اعضای یک میدان، معمولاً اسکالر نامیده می­‌شوند.

در تعریف فوق، ویژگی­های (الف)، (ب) و (ج) بیان می‌کنند که $(\mathbb{F},+)$ یک گروه است و درصورتی­‌که شرط (د) نیز برقرار باشد، $(\mathbb{F},+)$ یک گروه آبلی است. ویژگی­های (هـ)، (و)، (ز) و (ح) بیان می­‌کنند که $(\mathbb{F}-\left\{ 0 \right\},\cdot )$ نیز یک گروه آبلی است.

سایتی برای آشنایی با دانشمندان ریاضی

به قول استاد زنده‌یاد پرویز شهریاری، تاریخ ریاضی خودِ ریاضی است.
اگر شما هم مانند من به تاریخ ریاضیات علاقمند هستید یا می‌خواهید اطلاعاتی درباره‌ی دانشمندان ریاضی کسب کنید سایت زیر را به شما پیشنهاد می‌کنم:

MacTutor History of Mathematics archive

نمونه سوال آنالیز عددی

توجه‌: این پست به مرور زمان به‌روز می‌شود و مسائل جدید به آن اضافه می‌گردد. پاسخها در ادامه‌ی مطلب خواهند آمد.
علاوه بر سوالات زیر، می‌توانید یک نمونه از مسائل درونیابی را از اینجا دانلود کنید.

1.  فرض کنید $a>0$ و دنباله $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ به صورت زیر تعریف شده باشد:$${{x}_{n+1}}=\frac{{{x}_{n}}\left( x_{n}^{2}+3a \right)}{3x_{n}^{2}+a};n\ge 0$$ در صورتی که دنباله‌ی $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ به $\sqrt{a}$ همگرا باشد، ثابت کنید مرتبه‌ی همگرایی آن 3 است و حد زیر را حساب کنید:$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{a}-{{x}_{n+1}} \right)}{{{\left( \sqrt{a}-{{x}_{n}} \right)}^{3}}}$$

2. برای نقاط متمایز \(\{ a ,b , {{x}_{1}} , ... , {{x}_{n}} \}\) ثابت کنید که:

\[f [ a ,b , {{x}_{1}} , ... , {{x}_{n}} ]=\frac{f [ a , {{x}_{1}} , ... , {{x}_{n}} ]-f [ b , {{x}_{1}} , ... , {{x}_{n}} ]}{a-b}\]

3. با فرض \(f(x)=U(x)V(x)\)، ثابت کنید:

\[f [{{x}_{0}} , {{x}_{1}}]=U({{x}_{0}})V [{{x}_{0}} , {{x}_{1}}]+V({{x}_{1}})U [{{x}_{0}} , {{x}_{1}}]\]

 

4. با فرض \(\varphi (x)=(x-{{x}_{0}})...(x- {{x}_{n}})\) ، ثابت کنید:\[f[{{x}_{0}},...,{{x}_{n}}]=\sum\limits_{i=0}^{n}{\frac{f({{x}_{i}})}{{\varphi }'({{x}_{i}})}}\]

5. فرض کنید $g\left( x \right)=f\left[ {{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{k}},x \right]$ . ثابت کنید برای هر عدد طبیعی $n$ ؛

الف) $g\left[ {{y}_{0}},\ldots ,{{y}_{n}} \right]=f\left[ {{x}_{0}},\ldots ,{{x}_{k}},{{y}_{0}},\ldots ,{{y}_{n}} \right]$

ب) ${{g}^{\left( n \right)}}\left( x \right)=n!f[{{x}_{0}},\ldots ,{{x}_{k}},\underbrace{x,x,...,x}_{n+1}]$

عدد موزر

دو تن از شاگردان داوید هیلبرت، ریاضی‌دان معروف آلمانی، به نام‌های لئو موزر و هوگو اشتینهاوس به کمک چندضلعی‌ها اعدادی را معرفی کردند که به سرعت بزرگ می‌شوند. این اعداد با استفاده از قاعده‌ی بازگشتی زیر تعریف می‌شوند:

1-‌ عدد طبیعی \(a\) داخل یک مثلث، به‌صورت « \(a\) به توان خودش» تعریف می‌شود.

2-‌ عدد طبیعی \(a\) داخل یک \(n\) ضلعی منتظم \((n\geq4)\) برابر است با \(a\) داخل \(a\) تا \(n-1\) ضلعی منتظم.

برای نمونه داریم:

 

 

حال به عدد 2 داخل یک 5 ضلعی منتظم توجه کنید:

 

 

اما 256 داخل یک مربع یعنی 256 داخل 256 مثلث یا به‌عبارت دیگر، \({{256}^{256}}\) داخل 255 مثلث و ... . این عدد را که تاکنون محاسبه‌ی آن با پیشرفته‌ترین کامپیوترها ممکن نشده است مگا می‌نامند، یعنی:

مگا = 2 داخل یک 5 ضلعی منتظم

موزر که هنوز قانع نشده بود مگا عددی به اندازه‌ی کافی بزرگ است شروع به یافتن عددهای دیگری نمود. اما عددی به ذهنش رسید که خاطرش را از یافتن اعداد دیگر، به اندازه‌ی کافی آسوده کرد:

 

2 داخل یک مگا ضلعی منتظم!

 

این عدد در ریاضیات عدد موزر نامیده می‌شود.

Leo Moser		Hugo steinhaus

بد نیست بدانید که ...

1. مجموعه‌ی اعداد گویا، تنها فضای متریک شمارایی است که نقطه‌ی تنها ندارد.

2. هیچ تابعی وجود ندارد که فقط در اعداد گویا پیوسته باشد ولی تابعی وجود دارد که فقط در اعداد گنگ پیوسته است.

3. تابع پیوسته‌ای وجود دارد که در تمام نقاط گویا دارای ماکسیمم موضعی است.

4. به کمک اصل انتخاب می‌توان یک گوی را طوری افراز و مجددا سرهم‌بندی کرد که دو گوی مشابه اولی حاصل شود.
(قضیه‌ی باناخ-تارسکی)

5. توابعی وجود دارند که در هر نقطه‌ای پیوسته‌اند ولی در هیچ‌نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند و جالب‌تر این که تعداد این توابع از توابع مشتق‌پذیر بیشتر است.

6. خم پیوسته‌ای وجود دارد که از تمام نقاط درون یک مربع می‌گذرد ولی هیچ خم پیوسته‌ای وجود ندارد که از هر نقطه‌ی درون مربع تنها یک بار بگذرد.

7. \({{\mathbb{R}}^{2}}\) اجتماع دایره‌های جدا از هم نیست ولی \({{\mathbb{R}}^{3}}\) اجتماع کره‌های جدا از هم است.
8. سوپریمم مجموعه‌ی تهی در دستگاه وسعت یافته‌ی اعداد حقیقی \(-\infty\) و اینفیمم آن \(+\infty\) است و این مجموعه، تنها مجموعه‌ای است که سوپریمم آن از اینفیممش کمتر است.
9. مجموعه‌ای از نقاط در صفحه وجود دارد که هر خط دلخواه در صفحه، آن مجموعه را فقط در دو نقطه قطع می‌کند.
10. هنوز شرط لازم و کافی برای اینکه یک گراف، همیلتنی باشد پیدا نشده است.