امی نوتر (Emmy Noether)

از قدیم، مردم تنها ریاضیدانان مرد را به حساب می‌آوردند. اما در طول تاریخ، ریاضیدانان زن زیادی بوده‌اند که به اندازه‌ی سهم مردها مشارکت داشته‌اند. اگرچه ممکن است که نام آنها فراموش شده باشد، اما کارهایشان فراموش نشده است. یکی از این ریاضیدانان زن که در آلمان متولد شد، امی نوتر است.

امی نوتر در بیست و سوم مارس سال 1882 در ارلانگن آلمان به دنیا آمد. پدرش استاد دانشگاه ارلانگن بود. در سن 18 سالگی تصمیم گرفت کلاس‌های رشته‌ی ریاضی را در دانشگاه ارلانگن بگذراند. او امتحانات را گذراند و سرانجام به عنوان یک دانشجوی خوب در دانشگاه قرار گرفت. او پس از 5 سال مطالعه، دکتری خود را به پایان رساند و اولین دانشجویی بود که یک سال زودتر فارغ‌التحصیل شده بود. اکنون امی نوتر دکتری ریاضی خود را گرفته است و آماده‌ی پیدا کردن کار در زمینه‌ی تدریس می‌باشد. دانشگاه ارلانگن به دلیل سیاستی که علیه اساتید زن داشت، از بکارگیری او امتناع کرد. با این حال نوتر به تحقیقات خود در آنجا ادامه داد و به چاپ مقالاتی در زمینه‌ی کاری خود پرداخت.

در این زمان فلیکس کلاین و دیوید هیلبرت بر روی یکی از نظریه‌های انیشتین در دانشگاه گوتینگن کار می‌کردند. آنها احساس کردند که تخصص امی نوتر می‌تواند به آنها در کارشان کمک کند. بنابراین از او دعوت کردند که به آنها بپیوندد. اما از آنجایی که هیچ استاد زنی عضو هیئت علمی آنجا نبود، امی نوتر مطمئن نبود که رفتنش به آنجا خوشایند باشد اما در نهایت آمد. او سخت کار می‌کرد و خیلی زود کاری به عنوان مدرس دانشگاه به دست آورد.

امی نوتر فردی خونگرم و صمیمی بود و عمیقاً به دانشجویانش توجه می‌کرد. او دانشجویان را مانند خانواده‌اش به شمار می‌آورد و همواره آماده‌ی شنیدن مشکلاتشان بود. روش تدریس او برای دنبال کردن کار بسیار سخت بود، اما کسانی که روش سریعش را درک می‌کردند از دنبال‌کنندگان پابرجا و همیشگی او بودند. امی نوتر کارهای زیادی در زمینه‌ی ریاضی انجام داد. او اوقات خود را به مطالعه‌ی جبر مجرد، به ویژه حلقه‌ها، گروه‌ها و میدان‌ها می‌پرداخت. از آنجایی که او تنها به دوستان صمیمی خود راجع به بیماری‌اش گفته بود، مرگ نوتر در سال 1935 تقریبا همه را متعجب کرد.

حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی

یکی از کاربردهای مهم ماتریس نمایی در حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی است. برای بررسی این موضوع ابتدا قضیه­‌ی زیر را بیان می­‌کنیم.

قضیه: فرض کنید $A\in {{\mathbb{R}}^{n\times n}}$ و تابع برداری $w~:\mathbb{R}\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ پیوسته باشد. در این صورت جواب مسأله‌ی مقدار اولیه‌­ی\begin{cases}{X}'\left(t\right)=AX\left(t\right)+w\left(t\right) \\X\left({{t}_{0}}\right)={{X}_{0}}\in{{\mathbb{R}}^{n}} \end{cases} به ازای هر $t\ge {{t}_{0}}$ به‌صورت زیر خواهد بود:

$$X\left( t \right)={{e}^{\left( t-{{t}_{0}}\right)A}}{{X}_{0}}+ \int_{{t}_{0}}^{t} \,{{e}^{\left( t-s \right)A}}w\left( s \right)ds.$$اثبات: با ضرب معادله­‌ی دیفرانسیل در ${{e}^{(-tA)}}$ داریم: ${{e}^{-tA}}{{X}^{'}}\left( t \right)-{{e}^{-tA}}AX\left( t \right)={{e}^{-tA}}w\left( t \right)$ که معادل است با:$$\frac{d}{dt}({{e}^{-tA}}X\left( t \right))={{e}^{-tA}}w\left( t \right)$$با انتگرالگیری از طرفین این رابطه روی بازه‌­ی $\left[ {{t}_{0}},t \right]$، داریم

$$\int_{{t}_{0}}^{t}\frac{d}{dt}({{e}^{-sA}}X\left( s \right))ds=\int_{{t}_{0}}^{t}\,{{e}^{-sA}}w\left( s \right)ds$$ بنابراین:$${{e}^{-tA}}X\left( t \right)-{{e}^{-{{t}_{0}}A}}X\left( {{t}_{0}} \right)=\int_{{t}_{0}}^{t}\,{{e}^{-sA}}w\left( s \right)ds$$ و در نتیجه با ضرب طرفین این رابطه در ${{e}^{tA}}$ خواهیم داشت:

$$X\left( t \right)={{e}^{\left( t-{{t}_{0}} \right)A}}{{X}_{0}}+\int_{{t}_{0}}^{t}\,{{e}^{\left( t-s \right)A}}w\left( s \right)ds.$$ حال به کمک قضیه­‌ی بالا، برنامه­‌ی Matlab حل یک دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی نمونه را به صورت زیر می‌نویسیم.

clear

clc

syms s t

A=[7 -4 ;8 -5]

w_t=[exp(t);exp(t)]

X0=[1;2]

X_t=expm(t*A)* X0+int(expm((t-s)*A)*(subs(w_t,t,s)),s,0,t);

disp('the solution X(t) is:')

X_t

این برنامه دستگاه زیر را حل می­‌کند:$$\left\{\begin{matrix}{{x}_{1}}^{'}=7{{x}_{1}}\left(t\right)-4{{x}_{2}}\left(t\right)+{{e}^{t}},   {{x}_{1}}\left( 0 \right)=1 \\{{x}_{2}}^{'}=8{{x}_{1}}\left(t\right)-5{{x}_{2}}\left( t \right)+{{e}^{t}},    {{x}_{2}}\left(0\right)=2\\\end{matrix} \right.$$و خروجی آن عبارت است از:

$$X\left(t\right)=\left( \begin{matrix}{{x}_{1}}\left(t\right)\\{{x}_{2}}\left(t\right) \\\end{matrix} \right)$$

که در آن:$$\left\{\begin{matrix} {{x}_{1}}\left( t \right)={{e}^{-t}}-\frac{1}{2}{{e}^{t}}+\frac{1}{2}{{e}^{3t}},  \\ {{x}_{2}}\left( t \right)=2{{e}^{-t}}-\frac{1}{2}{{e}^{t}}+\frac{1}{2}{{e}^{3t}}. \\\end{matrix} \right.$$