چطور به مهارت حل مسئله دست پیدا کنیم؟

آنچه در ادامه می‌خوانید، تجربه‌ی شخصی اینجانب از دوران تحصیل در رشته‌ی ریاضی و برگزاری کلاس‌های حل تمرین دروس مختلف ریاضی برای رشته‌های ریاضی و دیگر رشته‌های علوم پایه و فنی-مهندسی است.
در ابتدا باید توجه داشته باشیم که دروس ریاضی به دلیل ماهیتی که دارند، نیازمند صرف زمان و توجه کافی و پشتکار زیاد برای یادگیری هستند. «یادگیری» پله‌ی اول در حل مسئله است. اگر شما مطلبی را خوب درک نکرده باشید، نمی‌توانید مسائل مربوط به آن را حل کنید. بنابراین یکی از دلایل اصلی اینکه نمی‌توانیم مسئله‌ای را حل کنیم این است که مطلب مورد نیاز آن را یاد نگرفته‌ایم (یا فراموش کرده‌ایم). پس قبل از هر چیز، باید برگردیم و با دقت و توجه کافی مطالب مورد نیاز را یاد بگیریم. برای این کار، مراجعه به کتب آموزشی معتبر یا جستجو در اینترنت کفایت می‌کند.
حال فرض کنیم مطلبی را هم یاد گرفته‌ایم، اما همچنان در حل مسئله ناتوان هستیم. این موضوع ممکن است به چند علت باشد که من سعی می‌کنم در ادامه به اختصار در مورد آن‌ها صحبت و در آخر هم یک راهکار برای آن پیشنهاد کنم.

-سطح مسائل با توانایی شما همخوانی ندارد.
گاهی مسائلی که برای حل انتخاب می‌کنید، به قدری ساده هستند که گمان می‌کنید به تسلط لازم رسیده‌اید، در حالی که چنین نیست. برعکس، ممکن است مسائلی که می‌خواهید حل کنید از سطح بسیار بالایی برخوردار باشند. در این صورت، وقتی که موفق به حل آن‌ها نشدید احساس ناامیدی می‌کنید. یک مجموعه‌ی خوب از مسائل، مجموعه‌ای است که طیفی از مسائل ساده و دشوار را در خود جای داده باشد. سعی کنید مجموعه‌ای با این ویژگی را برای تمرین حل مسئله انتخاب کنید. مجموعه‌ی مسائل انتخابی شما باید دارای حل تشریحی باشد، تا بتوانید نکات و ظرایف حل مسائل را ببینید.

- وقت کافی برای حل مسئله صرف نمی‌کنید.
حقیقت امر این است که مانند تماشاگری که با دیدن شنای دیگران شناگر نمی‌شود، با دیدن راه حل مسئله نیز نمی‌توان مهارت حل مسئله را فراگرفت. برای حل مسئله باید دست به قلم شوید و راه‌های مختلفی را امتحان کنید. این ممکن است ساعت‌ها از شما زمان بگیرد! این صرف زمان به دو دلیل ارزشش را دارد. اگر خودتان مسئله را حل کنید، آنگاه بسیار مشعوف خواهید شد و اگر به حل آن مراجعه کردید، نکات بیشتری را فرا خواهید گرفت. ضمن اینکه پیدا کردن ایده و امتحان راه‌های مختلف از حل مسئله مهم‌تر است، چون این مرحله است که موجب تقویت فکر و ذهن شما می‌شود.

- از حل مسئله لذت نمی‌برید.
اگر به انجام کاری علاقه نداشته باشید، از انجام آن لذت نمی‌برید. برای علاقه‌مند شدن به حل مسئله، باید شرایط زمانی و مکانی مناسبی فراهم کنید و با در نظر گرفتن استراحت و پذیرایی، آن را به یک فرآیند لذت بخش تبدیل کنید.

اما راهکاری که برای یادگیری مهارت حل مسئله پیشنهاد می‌کنم از این قرار است: فرض می‌کنیم که مجموعه‌ای از مسائل خوب با راه حل تشریحی در اختیار دارید و مطالب مورد نیاز را نیز فرا گرفته‌اید. ابتدا برای حل مسئله تلاش کنید. در این مرحله، اصول حل مسئله‌ی جورج پولیا بسیار مفیدند: بدانید مجهول چیست، داده‌ها یا مفروضات کدامند، پیدا کردن ارتباط بین فرض‌ها و خواسته‌ی مسئله، اجرای طرح و در آخر بازنگری. اما مشکل اصلی دانش‌آموزان و دانشجویان، حداقل در ابتدای مسیر یادگیری حل مسئله، این است که نمی‌دانند از کجا شروع کنند. برای این کار من پیشنهاد می‌کنم به حل مسئله رجوع کنید. اما صبر کنید! قرار نیست حل را به طور کامل نگاه کنید. فقط خط اول حل یا قسمت اول آن را باید ببینید. حالا باید برگردید و با این راهنمایی یا آگاهی مختصری که پیدا کرده‌اید خودتان حل مسئله را ادامه بدهید. اگر توانستید مسئله را در این مرحله حل کنید که چه بهتر، اگر نه خط دوم حل را بخوانید و مجددا با صرف زمان کافی تلاش کنید مسئله را حل کنید. این کار را آنقدر انجام دهید که یا خودتان مسئله را حل کنید یا حل مسئله به اتمام برسد. با اجرای این راهکار پس از مدتی، یک ذهن چابک، ایده پرداز و خلاق خواهید داشت.

چند نکته در مورد نگارش مقالات با لاتک

Some Latex writing tips
Michiel Hochstenbach, TU Eindhoven, 2016
NB: Several tips are taken from Nick Higham's Handbook of Writing for the Mathematical Sciences

General:
1- Use a spelling checker, such as the one available in WinEdt or Word. If possible, use more than one.
2- Before and after e.g., always use a comma (= for instance).
3- Before and after i.e., always use a comma (= that is).
4- Instead of "in order to" just use "to".
5- Always use comma's in a list such as in: A, B, C, and/or D.
6- Check on double common words, such as "the the".
7- Check on "a + vowel" which should be replaced by "an + vowel". For instance, "an integer", but also "an n x n matrix". NB: "a user" is correct.
8- Avoid using the same word several times, particularly in the same paragraph.
9- The last section should contain conclusions. It is good practice to include the main message of the paper in the abstract, the introduction, throughout the text, and in the conclusions.
10- Are the key words and AMS math codes complete?
11- Quotation marks: use `` and '' instead of "
12- In a revised version, please thank the referees.
13- Be careful using "novel" as this has the feeling of "shockingly new".

یک معمای منطقی

صورت معما:

 یک دختر یکی از سه عدد 1، 2 یا 3 را در ذهن خود انتخاب می‌کند و پس از آن یک پسر فقط و فقط یک سؤال در مورد عدد انتخابی دختر می‌پرسد. دختر فقط می‎تواند به یکی از سه صورت «بله»، «خیر» یا «نمی‌دانم» به سؤال پاسخ دهد و پس از اینکه دختر به سؤال پاسخ داد، پسر می‌گوید که دختر چه عددی را انتخاب کرده است. این سؤال چه می‌تواند باشد؟

 

پاسخ را در ادامه‌ی مطلب ببینید.

بررسی نکات و تست‌های مبانی آنالیز عددی

در ادامه‌ی بررسی نکات و تست‌های آزمون‌های دکتری، در فایل زیر به بررسی نکات و تست‌های مبانی آنالیز عددی (مباحث حساب کامپیوتری، خطاها و حل معادلات غیرخطی) پرداخته‌ام. نحوه‌ی چینش تست‌ها و پاسخ آن‌ها به گونه‌ای است که ابتدا بتوانید تلاش خود را برای حل مسئله انجام دهید و در صورتی که موفق به حل مسئله نشدید، آنگاه پاسخ آن را مشاهده کنید. امیدوارم که مطالعه‌ی این فایل نیز برای داوطلبان مفید واقع شود.

بررسی نکات و تست‌های مبانی آنالیز عددی در آزمون‌های دکتری

بررسی نکات و تست‌های مبحث مقادیر ویژه

مبحث مقادیر ویژه یکی از مهم‌ترین مباحث درس جبر خطی است و همواره مورد توجه طراحان آزمون‌های کارشناسی ارشد و دکتری بوده است. از این رو و به منظور کمک به داوطلبان، به بررسی نکات و تست‌های این مبحث در آزمون‌های دکتری پرداخته‌ام. داوطلبان با مطالعه‌ی فایل پیوست علاوه بر مرور مطالب، با شیوه پاسخگویی به تستهای این مبحث آشنا می‌شوند. سعی کرده‌ام مطالب را مختصر و مفید اما با رویکردی استدلال محور ارائه کنم. در این فایل تمام تست‌هایی را که تاکنون از مبحث مقادیر ویژه در آزمون‌های دکتری ریاضی مطرح شده‌اند، بررسی می‌کنیم. نحوه‌ی چینش تست‌ها و پاسخ آن‌ها به گونه‌ای است که ابتدا بتوانید تلاش خود را برای حل مسئله انجام دهید و در صورتی که موفق به حل مسئله نشدید، آنگاه پاسخ آن را مشاهده کنید. امیدوارم که مطالعه‌ی این فایل برای داوطلبان مفید واقع شود.

بررسی نکات و تست‌های مبحث مقادیر ویژه در آزمون‌های دکتری

نیوتن و حواس‌پرتی‌های او

درباره‌ی حواس‌پرتی نیوتن داستان‌های زیادی وجود دارند. برای او افکار علمی بسیار جذاب بودند. هنگامی که در افکار علمی غرق می‌شد، همه چیز را فراموش می‌کرد. وقتی هم که استاد دانشگاه کمبریج بود، نه دوست و آشنا داشت و نه خویشاوند و نه مسئولیت‌های زیاد و از این موقعیت کمال استفاده را می‌کرد. برخی داستان‌های رایج از این قرارند:

در یک مناسبت، نیوتن به برخی دوستانش شام می‌داد. میز شام را ترک کرد تا از سرداب خانه برایشان چیزی بیاورد تا بنوشند. اما در میانه‌ی راه غرق افکار خود شد، کار و میهمانانش را فراموش کرد، ردایش را به تن کرد و به کلیسا رفت. گاهی لباس‌ها را کامل به تن نکرده، به خیابان می‌رفت و وقتی از سر و وضع خود آگاه می‌شد، شتابان و خجالت‌زده به خانه باز می‌گشت. اغلب هنگامی که در باغ قدم می‌زد ناگهان می‌ایستاد، آنگاه با سرعت به سمت اتاقش می‌دوید و روی اولین کاغذی که دم دستش می‌آمد، ایستاده شروع به نوشتن می‌کرد. هنگامی که قصد داشت در سالن عمومی شام بخورد، غرق افکار خود می‌شد، مسیر را اشتباهی پی می‌گرفت، مدتی راه می‌رفت و پس از این که کاملا شام را فراموش کرده بود به اتاقش برمی‌گشت. یک بار از اسب خود پیاده شده بود تا از تپه‌ای بالا برود. اما هنگامی که به بالای تپه رسید و برای پرداخت عوارض ایستاد، برگشت و دید که فقط افسار اسب را در دست دارد. اسب، بی‌آنکه نیوتن متوجه شده باشد، هنگام بالا رفتن سر خود را از افسار بیرون آورده بود.

Reference: Krantz, Steven G. Mathematical apocrypha redux: more stories and anecdotes of mathematicians and the mathematical. Cambridge University Press, 2005.

دوره‌ی دکتری در ناکجاآباد!

نوشته‌ی حاضر مقاله‌ای است با همین عنوان از دکتر محمد صال مصلحیان، استاد ریاضی دانشگاه فردوسی، که در آن با زبان طنز دوره‌ی دکتری در برخی از دانشگاه‌های ایران را نقد کرده است. این مقاله را سال‌ها پیش خوانده بودم، اما به نظرم ارزش بارها خواندن (و البته توجه) را دارد.

 

سالها پیش مقاله‌ای خوانده بودم تحت عنوان «درسی در بد درس دادن» که در آن نویسنده تلاش نموده بود به معلمان بگوید چه کارهایی نباید در کلاس درس انجام دهند. همان داستان لقمان حکیم که او را گفتند: «ادب از که آموختی؟» گفت: «از بی‌ادبان که هرچه از ایشان در نظرم ناپسند آمد از فعل آن پرهیز کردم». این داستان تخیلی با الهام از همان مقاله، بر اساس تجربه دانشجویان دکتری در دانشگاه‌های مختلف کشورهای گوناگون و به صورت برگ‌هایی از خاطرات روزانه یک دانشجوی دکتری به نام هیچکس ابن هیچکس در دانشگاهی در ناکجاآباد به رشته تحریر در آمده است.

 

آزمون دکتری

امروز هوا بهاری بود. برای مصاحبه‌ی آزمون دکتر‌ی به دانشگاه ناکجاآباد آمده بودم. محیط دانشگاه برایم غریب بود. تنها چیز آشنایی که در اطرافم به چشم می‌خورد، شکوفه‌های درختان و گل‌های رنگارنگی بود که دانشگاه را تزیین و آن را برای گفتگوهای دوستانه‌ی دانشجویان باصفا کرده بود. انگار همه گل‌های دنیا مثل هم هستند و برای همین بود که به نظر غریبه نمی‌آمدند. از همه‌ی داوطلبان خواسته بودند ساعت هشت صبح در دانشکده حضور یابند. عده‌ی زیادی، از دور و نزدیک، آمده بودند. ساعت یک ظهر شده بود و دل تو‌ی دلم نبود. کاش همچون مطب پزشکان وقت قبلی داده بودند. در راهرو و نزدیک اتاقی که مصاحبه در آن انجام می‌شد ایستاده بودم. گاهی چند قدم از اتاق دور می‌شدم ولی با این دلهره که ممکن است مرا برای مصاحبه فرابخوانند بی‌درنگ برمی‌گشتم. هر داوطلبی که از اتاق مصاحبه بیرون می‌آمد، بقیه دور او جمع می‌شدند و می‌پرسیدند که مصاحبه چطور بود. همه کم و بیش می گفتند: «خوب بود. سؤالها هم خوب بود و ...» و بعد آهسته و گیج از دانشکده بیرون می‌رفتند؛ بی آن که فرصتی دست دهد تا برای ما "خوب" را تعریف کنند.
بالأخره انتظار تمام شد و مرا صدا زدند. وارد اتاق شدم. پنج تن از اساتید ممتحن پشت میز رنگ و رو رفته‌ای نشسته بودند و پرونده ام را که شامل ریز نمرات دوران تحصیلات دانشگاهی‌ام، زندگینامه علمی و چند توصیه‌نامه بود ورق می‌زدند. بعضی از آنها نیز مرا برانداز می‌کردند. برای یک لحظه حس کردم کوزه‌ای سفالی متعلق به هزاره‌های پیشینم که در پشت ویترین یک عتیقه فروشی قرار گرفته‌ام و چند باستان‌شناس مرا با ذره‌بین نظاره می‌کنند. از من دو سؤال علمی پرسیدند که نتوانستم جواب دهم. سپس راجع به این که آیا ازدواج کرده‌ام، شغلی دارم، کدام استادان دانشکده را از قبل می‌شناسم، نظر من راجع به دانشگاه آنها چیست، آیا قصد ادامه تحصیل در خارج از ناکجاآباد دارم و ... پرسیدند که البته، مثل دایی جان خدا بیامرزم که آدم خوشبینی بود، با دیدی مثبت به آنها پاسخ دادم. از من پرسیدند که تو دوست داری چه گرایشی بخوانی. مِن و مِنی کردم و گفتم: اول آنچه شما صلاح بدانید و دوم گرایش دوره ارشدم؛ چرا که مطمئناً شما بهتر می‌توانید استعداد مرا شناسایی کنید. ناخودآگاه یاد حکایت بادمجان و ناصرالدین شاه افتادم. سؤال کردند با چه کسی دوست داری کار کنی. گفتم: این افتخاری برای من است که با یکی از اعضای هیئت علمی این دانشگاه کار کنم و برایم مهم نیست این فرد چه کسی باشد. حتماً همه خوبند که دانشگاه به آنها اجازه پذیرش دانشجو داده است. پرسیدند آیا دوست داری جایی در خارج از ناکجاآباد درس بخوانی؟ گفتم: خیر، زیرا یکی از استادان می‌گوید که اینجا از خیلی از دانشگاه‌های ینگه دنیا بهتر است. از طرف دیگر، چرا باید مغزمان را در اختیار خارجی‌ها بگذاریم؟ ... گویا آنها از پاسخ‌های من خیلی خوششان آمده بود، زیرا یکی از دوستانم که از نظر علمی در همه چیز بر من سر بود را انتخاب نکردند و در عوض مرا برگزیدند.

 

ترم اول

بامداد نسیم خنکی می‌وزید. کلاس ساعت هشت صبح شروع شد. من و سه دانشجوی دکتری دیگر در کلاس نشسته بودیم. استاد مثل همیشه بسیار شیک، با لباس‌های اتو زده و کفش‌های واکس زده، سر وقت به کلاس وارد شد و پشت تریبون نشست و شروع به تدریس کرد. مشهور است که مقالات او را دانشجویانش می‌نویسند و خودش نه تنها از محتوای آنها خبر ندارد بلکه نمی‌تواند حتی یک کلمه از عنوان یکی از مقالاتش را بگوید. از همان‌هایی که خودش هیچ کار پژوهشی نمی‌کند، ولی مدام از کارهای تحقیقی دیگران ایراد می‌گیرد. دانشجوها می‌گویند که او دیگر عتیقه شده است، اما نظر من این است که او عتیقه شناس است و دانشجویان نخبه‌ای که مقاله‌های خوب و زیادی می‌نویسند را در تور می‌اندازد!

چند دقیقه‌ای نگذشته بود که دوستم به من نزدیک شد و در گوشم گفت: «من این مطلب را سه بار دیگر از همین استاد شنیده ام. یک بار در سال آخر کارشناسی و دو بار هم در دو درس کارشناسی ارشد» و هر دو با هم پوزخندی زدیم. دوستم گفت: «باید کاری کنم و حالِ او را بگیرم.» هنوز سخنش تمام نشده بود که دستش را بلند کرد و سؤالی جدی از استاد پرسید. استاد از جایش بلند شد، چند قدم جلو رفت، دوباره برگشت، عینکش را با انگشت سبابه به چشمانش چسباند، دستش را در جیب شلوارش فرو برد و رو به من کرد و گفت: «شما چه فکر می‌کنید؟» و آب دهانش را قورت داد. مضطرب شدم و با لکنت گفتم: «نمی‌دانم استاد.» گفت: «ندانستن مهم نیست. این که هیچ تلاشی برای یافتن جواب نکنید بد است. دانشجو باید دائم در حال کار باشد. همه‌ی شما به عنوان پروژه کلاسی تا هفته‌ی دیگر فرصت دارید که جواب آن را تایپ شده به من تحویل دهید.» همین طور که صحبت می‌کرد جدی‌تر می‌شد و به تدریج باورش می‌شد که یک عالِم دهر است. گفت: «نمره‌ای هم برای آن در نظر می‌گیرم. راستی آیا مسائل جلسه‌ی قبل را حل کرده‌اید؟» سخنش تمام نشده بود که هر یک از ما همانطور که دهانمان از تعجب باز مانده بود، حل مسائل خود را به وی تحویل دادیم. اما می‌دانستیم که آنها را تصحیح نکرده و نخوانده در سطل بازیافت کاغذهای اتاقش می‌اندازد. در ادامه با ژستی حق به جانب به پشت تریبون برگشت و جزوه‌گویی خود را دنبال کرد. ما هم شروع به نوشتن کردیم، جزوه‌ای که بوی کهنگی می‌داد چرا که مربوط به چندین سال پیش بود؛ زمانی که خودش به عنوان دانشجو آن را می‌خواند. همه به دوستم چپ چپ نگاه کردیم. از بغل به او تنه‌ای زدم و گفتم: «چه کارش داشتی!» گفت: «نمی‌دانم به این آدم بی‌سواد چه طوری مدرک دکتری (و بدتر از آن دانشجوی دکتری) داده‌اند. مطمئنم که دکترایش قلابی است!» نمی‌دانم چرا به یاد دایی جان خدابیامرزم افتادم. اصلاً این درس خواندن در دوره دکتری باعث شده بود که من مدام از آن خدابیامرز یاد کنم. دوست نداشتم فکر کنم که استادم بی‌سواد است. دوست داشتم به همه چیز با دید مثبت نگاه کنم. به قول قدیمی‌ها بچه‌ی حلال‌زاده به داییش می‌رود. حالا دیگر به ضرب‌المثل‌ها هم شک کرده بودم!

یک مسئله از جبر خطی

صورت مسئله: فرض کنید که $A$ یک ماتریس $5\times5$ وارون‌پذیر با درایه‌های حقیقی مثبت باشد. در این صورت $A^{-1}$ حداکثر می‌تواند چند درایه‌ی صفر داشته باشد؟

1) 18

2) 17

3) 15

4) 16

این مسئله‌، سؤال 50 از آزمون کارشناسی ارشد رشته‌ی علوم کامپیوتر سال 1396 است.

پاسخ: گزینه‌ی 3 صحیح است. فرض کنید که $A^{-1}$ بیش از 15 درایه‌ی صفر داشته باشد. پس حداقل 16 درایه‌ی صفر دارد. چون $A^{-1}$ پنج سطر دارد، پس طبق اصل لانه کبوتری، سطری از $A^{-1}$ وجود دارد که دارای بیش از 3 درایه‌ی صفر است. بدون کاستن از کلیت، فرض کنید که مثلاً سطر اول $A^{-1}$ دارای چهار صفر باشد و اولین درایه‌ی این سطر، غیر صفر است. چون $A^{-1}A=I$، بنابراین یک تساوی به شکل زیر وجود دارد:$$
\begin{bmatrix}1/a & 0 &0&0&0\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&*\\*&*&*&*&* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b &c&d&e\\f&g&h&i&j\\k&l&m&n&o\\p&q&r&s&t\\u&v&w&x&y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 &0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

که در آن اولین ماتریس در سمت چپ تساوی، $A^{-1}$ و دومی $A$ است. در این صورت از حاصل ضرب سطر اول $A^{-1}$ در ستون دوم $A$ و برابر قرار دادن طرفین خواهیم داشت:$$\frac{1}{a}\times b=0.$$اما طبق فرض، تمام درایه‌های $A$ یعنی $a,b,...$ اعداد حقیقی مثبت هستند. بنابراین $1/a$ نیز عددی مثبت است. یعنی ضرب دو عدد مثبت $1/a$ و $b$ صفر شده، که یک تناقض است. بنابراین $A^{-1}$ نمی‌تواند بیش از 15 درایه‌ی صفر داشته باشد.

از حل این مسئله، خاطره‌ی خوبی دارم. سال‌های قبل یک گروه تلگرام برای داوطلبان آزمون دکتری ریاضی تشکیل داده بودیم که در آن به حل و بحث سوالات ریاضی می‌پرداختیم و بحث‌های علمی خیلی خوبی هم در آن‌ مطرح می‌شد. پس از آن که حل این مسئله را در گروه قرار دادم، یکی از دوستان این سؤال را مطرح کرد که آیا می‌توان ماتریسی با درایه‌های حقیقی مثبت مثال زد که وارون آن دقیقاً 15 درایه‌ی صفر داشته باشد؟ پاسخ مثبت است. اگر درایه‌های روی قطر اصلی را منفی انتخاب کنیم و درایه‌های یک قطر بالای قطر اصلی و همچنین اولین درایه‌ی سطر آخر را مثبت قرار دهیم و سایر درایه‌ها صفر باشند، آنگاه تمام درایه‌های ماتریس وارون، مثبت خواهند شد:

>> format rat
>> B=[-1 2 0 0 0; 0 -1 2 0 0; 0 0 -1 2 0; 0 0 0 -1 2; 2 0 0 0 -1]

B =

      -1              2              0              0              0       
       0             -1              2              0              0       
       0              0             -1              2              0       
       0              0              0             -1              2       
       2              0              0              0             -1       

>> A=inv(B)

A =

       1/31           2/31           4/31           8/31          16/31    
      16/31           1/31           2/31           4/31           8/31    
       8/31          16/31           1/31           2/31           4/31    
       4/31           8/31          16/31           1/31           2/31    
       2/31           4/31           8/31          16/31           1/31 

>> format rat
>> B=[-1 1 0 0 0; 0 -1 2 0 0; 0 0 -1 3 0; 0 0 0 -1 4; 5 0 0 0 -1]

B =

      -1              1              0              0              0       
       0             -1              2              0              0       
       0              0             -1              3              0       
       0              0              0             -1              4       
       5              0              0              0             -1       

>> A=inv(B)

A =

       1/119          1/119          2/119          6/119         24/119   
     120/119          1/119          2/119          6/119         24/119   
      60/119         60/119          1/119          3/119         12/119   
      20/119         20/119         40/119          1/119          4/119   
       5/119          5/119         10/119         30/119          1/119

>> format rat
>> B=[-1 6 0 0 0; 0 -2 7 0 0; 0 0 -3 8 0; 0 0 0 -4 9; 10 0 0 0 -5]

B =

      -1              6              0              0              0       
       0             -2              7              0              0       
       0              0             -3              8              0       
       0              0              0             -4              9       
      10              0              0              0             -5       

>> A=inv(B)

A =

       1/251          3/251          7/251         14/251        126/1255  
      42/251          1/502          7/1506         7/753         21/1255  
      12/251         36/251          1/753          2/753          6/1255  
       9/502         27/502         63/502          1/1004         9/5020  
       2/251          6/251         14/251         28/251          1/1255 

کتاب مبانی علوم ریاضی

 

کتاب مبانی علوم ریاضی، توسط انتشارات پژوهشگر برتر منتشر شد. هرچه بخواهید در این کتاب مثال و تمرین است. کتاب در 266 صفحه و طبق سرفصل دانشگاه فرهنگیان نوشته شده است. دانشگاه فرهنگیان، مبانی ریاضی را به دو قسمت تقسیم کرده است؛ قسمت اول، که از منطق تا آخر بحث تابع است، تحت عنوان «مبانی علوم ریاضیات» و قسمت دوم که مربوط به مجموعه‌های نامتناهی و اعداد اصلی و ... است، تحت عنوان «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها». این کتاب، مطالب مربوط به قسمت اول را در بر می‌گیرد.

امیدواریم این کتاب بتواند مورد استقبال دانشجویان و اساتید گرامی قرار گیرد و در توانمندسازی دانشجویان دانشگاه فرهنگیان، که معلمان آینده مدارس خواهند بود، مفید واقع شود.

 

دانلود مقدمه و فهرست مطالب کتاب

دانلود قسمتی از متن کتاب

مسئله‌ی توزیع اقتصادی بار

در این پست به بیان یکی از کاربردهای بهینه‌سازی در علوم مهندسی می‌پردازیم. مسئله‌ی توزیع اقتصادی بار، یکی از مسائل مهم در حوزه‌ی بهره‌برداری از سیستم‌های قدرت (نیروگاه‌ها) است. هدف این مسئله، تأمین بار مورد نیاز با کمترین هزینه توسط نیروگاه‌های تولید برق می‌باشد.

تعریف مسئله:
در یک سیستم قدرت شامل $n$ واحد تولیدی که توسط تعدادی خطوط انتقال به مراکز مصرف متصل شد‌ه‌اند، مسئله‌ی توزیع اقتصادی بار به‌صورت «تعیین میزان تولید توان هر نیروگاه با هدف کمینه کردن هزینه‌ی تأمین مجموع بار شبکه» تعریف می‌شود. این مسئله‌ دارای دو صورت شناخته شده است که بسته به در نظر گرفتن یا نگرفتن تلفات انتقال شبکه‌ می‌باشد. در ادامه، فرمولبندی مسئله برای هر دو حالت بیان می‌گردد.

الف)‌ توزیع اقتصادی بار با در نظر گرفتن تلفات انتقال شبکه:

$$\begin{alignat}{3}
 & \text{minimize}\quad\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{F}_{i}}\left( {{P}_{i}} \right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,\left( {{a}_{i}}P_{i}^{2}+{{b}_{i}}{{P}_{i}}+{{c}_{i}} \right) \\
 & \text{subject to} \quad\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{P}_{i}}=D+{{P}_{l}},\\
                 &\quad \quad \quad \quad \quad P_{i}^{min}\le {{P}_{i}}\le P_{i}^{max}.
\end{alignat}$$در مسئله‌ی فوق متغیرهای تصمیم ${{P}_{i}}$ها هستند که بایستی تعیین شوند. ${{P}_{i}}$ میزان توان تولیدی نیروگاه $i$ام است. تابع هدف، مجموع توابع هزینه‌ی واحدهای تولیدی است که یک تابع هدف درجه دوم می‌باشد. در واقع هزینه‌ی تولید توان ${{P}_{i}}$ توسط نیروگاه $i$ام به صورت زیر تعریف می‌شود:$${{F}_{i}}\left( {{P}_{i}} \right)={{a}_{i}}P_{i}^{2}+{{b}_{i}}{{P}_{i}}+{{c}_{i}}$$که در آن ضرایب ${{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}}$ اعدادی حقیقی هستند. لذا تابع هدف مسئله، جمع تمام هزینه‌های واحدهای تولید (نیروگاه‌ها) می‌باشد که باید کمینه شود. این مسئله شامل دو دسته قید است:

- قید تعادل:

به این معنی که مجموع تولید توان توسط تمام نیروگاه‎ها ($\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{P}_{i}}$) باید با مجموع توان مصرفی ($D$) و توان تلف‌شده (${{P}_{l}}$) برابر باشد. رابطه‌ی میان تلفات انتقال انرژی و میزان تولید هر نیروگاه، با استفاده از فیزیک شبکه‌های انتقال بدست می‌آید و بصورت زیر است:$${{P}_{l}}={{P}^{t}}BP=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,\underset{j=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{P}_{i}}{{B}_{ij}}{{P}_{j}}$$این رابطه، به دلیل وجود حاصلضرب ${{P}_{i}}$ها یک رابطه‌‌ی غیرخطی است. ${{B}_{ij}}$ها ضرایب تلفات نامیده می‌شوند.

-‌ قیود عملیاتی واحدها:

به این معنی که میزان تولید توان توسط نیروگاه $i$ام نباید از حدود مشخصی کمتر یا بیشتر باشد. مقادیر $P_{i}^{min},P_{i}^{max}$ به ترتیب حد بالا و پایین تولید توان برای هر نیروگاه می‌باشند.

ب)‌ توزیع اقتصادی بار بدون در نظر گرفتن تلفات انتقال شبکه:$$\begin{alignat}{3}
 & \text{minimize}\quad\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{F}_{i}}\left( {{P}_{i}} \right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,\left( {{a}_{i}}P_{i}^{2}+{{b}_{i}}{{P}_{i}}+{{c}_{i}} \right) \\
 & \text{subject to} \quad\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{P}_{i}}=D,\\
                 &\quad \quad \quad \quad \quad P_{i}^{min}\le {{P}_{i}}\le P_{i}^{max}.
\end{alignat}$$در اینجا، مسئله‌ی حالت (الف) را به دلیل داشتن قیود غیرخطی، حل می‌کنیم.